¿Generalización de los números enteros de longitud infinita?

Question

Como la mayoría de la gente sabe, un número entero sólo puede ser de longitud finita cuando se expresa en forma de una serie de dígitos en alguna base. Sin embargo, los números reales en general pueden ser de longitud infinita, tanto como no es un "primer dígito".

Es decir, si expresamos un "infinito entero" en el formulario $$ \sum_{n=0}^\infty a_n 10^n $$ donde $a_n\in\mathbb{Z}_{10}$, entonces la suma y la multiplicación deben estar bien definidos en esta secuencia. De hecho, tengo la sospecha de que tal sistema puede en realidad forma un campo, como aditivo y multiplicativo inversas, debe existir (tenga en cuenta que $\bar{9}+1=0$ donde $\bar{9}$ es el número para el que $a_n=9$ todos los $n$, e $\overline{285714}3\times7=1$ donde $\overline{285714}3$ $a_0=3$ y, a continuación,$a_{6n+1}=4$, $a_{6n+2}=1$, y así sucesivamente).

Tiene un conjunto con la adición y la multiplicación sido investigado? ¿Tiene un nombre? Que es lo que realmente forma un campo, o deja una de las propiedades necesarias de un campo? Es el sistema funcionalmente el mismo independientemente de la base elegida, o hacer diferentes bases de cambiar algunas de las propiedades del sistema?

Answer 1

Usted ha redescubierto la $10$-ádico enteros. Tales "decimal infinita expansiones de enteros" formar un anillo usando las reglas habituales para la adición y la multiplicación de decimales. Sin embargo, no forman un campo. Una forma rápida y sencilla de ver esto es que el $10$ no tiene inversa (ya que si se multiplica $10$ por nada, entonces el último dígito del producto serán a $0$).

Aún peor, sin embargo, este anillo tiene divisores de cero: hay distinto de cero elementos $x$ $y$ tal que $xy=0$. Estos tomar un poco de trabajo para construir, pero aquí es la idea. Vamos a construir los dígitos de $x$ $y$ de una en una, comenzando desde el final. Empezar diciendo que el último dígito de la $x$$2$, y el último dígito de la $y$$5$, por lo que el último dígito de la $xy$$0$. A continuación, seleccione el dígito anterior de $x$, de modo que $x$ es divisible por $4$, y el dígito anterior de $y$, de modo que $y$ es divisible por $25$, de modo que su producto será divisible por $100$ y terminan en dos ceros (por ejemplo, $x$ podría terminar en $12$ $y$ podría terminar en $25$). Seguir eligiendo dígitos de $x$ $y$ de una en una, de modo que $x$ es divisible por todos los medios de $2$ $y$ es divisible por todos los medios de $5$. Cada dígito del producto $xy$ ser $0$.

Usted puede, por supuesto, hacer lo mismo con una base diferente, en lugar de $10$, dándole la $b$-ádico enteros para cualquier entero $b>1$. A diferencia del caso de finito de la base de expansiones, sin embargo, consigue un auténtico diferente número de sistema para diferentes valores de $b$! (Para ser precisos, resulta que el sistema de número que dependerá únicamente del conjunto de factores primos de a $b$, de modo que, por ejemplo, el $10$-ádico enteros son isomorfos a la $50$-ádico enteros.)

Resulta que siempre que $b$ es compuesto, el $b$-ádico enteros se tiene divisores de cero, como en el caso de $b=10$. Al $b$ es un primer (decir $b=p$), sin embargo, el $p$-ádico enteros son una integeral de dominio (que no tiene divisores de cero). El $p$-ádico enteros no son un campo, aunque, debido a $p$ no tiene inversa. Si usted contiguos a una inversa de a $p$, se obtiene un campo, llamado el $p$-ádico números y escrita $\mathbb{Q}_p$. Elementos de $\mathbb{Q}_p$ son de base "$p$ expansiones que puede ser infinito por la izquierda", es decir, formal sumas $$\sum_{n=k}^\infty a_np^n$$ where each $a_n$ is an integer between $0$ and $p-1$ and $k\in\mathbb{Z}$ (so $k$ can be negative, allowing finitely many negative powers of $p$ en la suma).

Hay una historia mucho más grande aquí: $p$-ádico los números juegan un papel muy importante en la moderna teoría de números, y tiene una muy rica estructura. Puesto que es fácilmente posible escribir un libro entero sobre el tema, voy a terminar mi respuesta aquí, sin embargo. Puedes leer un poco más sobre ellos en la página de la Wikipedia he enlazado al principio.

Answer 2

Sí. Lo que usted ha definido se llama los números 10-adic. No forman un campo por dos razones, una de las cuales es que $10$ no es inversible; la otra razón se deja como ejercicio.

Mayoría de los libros sólo a hablar del $p$-números adic para $p$ prime, y esto es porque el caso general resulta reducir esencialmente el primer caso, por el Teorema chino del resto.

Answer 3

Otra manera divertida de que los anillos difieren dependiendo de la base utilizada es que en la base 5, $-1$ ( $\bar{4}$ ) tiene una raíz cuadrada, mientras que $2$ no, pero en base 7 es de la otra manera (y $-1$ de curso $\bar{6}$ en la base).

Debo señalar que yo no lo he probado, pero a mi jugando con la idea de punta fuertemente de esa manera. Si te gusta la programación es un ejercicio divertido de escribir una clase que implementa estos números. Yo lo hice en Python, como su rendimiento/sistema generador de hecho que sea fácil para un modelo de estos números como potencialmente infinita lista que producen los dígitos de las unidades de lugar.