Esta es la pregunta #2 de la Caída de 2003 examen de calificación en mi universidad.
Deje $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ser infinitamente función derivable tal que para todos los $x\in[0,1]$ existe $m>0$ tal que $f^{(m)}(x)\neq 0$. Demostrar que en realidad no existe $M$ tal que para todos los $x\in[0,1]$ existe $0<m\leq M$ tal que $f^{(m)}(x)\neq 0$.
Tuve esta idea; para cada una de las $x_i\in[0,1]$ existe $m_i$ tal que $f^{(m_i)}(x_i)\neq 0$. Desde $f$ es infinitamente diferenciable, $f^{(m_i)}$ es continua, de modo que existe $\epsilon_i$ tal que $f^{(m_i)}\neq 0$$(x_i-\epsilon_i,x_i+\epsilon_i)$. Entonces $$ [0,1]\subseteq\bigcup_{i\in I}(x_i-\epsilon_i,x_i+\epsilon_i)$$ es una cubierta de $[0,1]$, por compacidad, $$ [0,1]\subseteq\bigcup_{i=1}^n(x_i-\epsilon_i,x_i+\epsilon_i)$$ después de reetiquetado. Set $M=\max\{m_1,\dots,m_n\}$. Para arbitrario $x\in [0,1]$, $x\in (x_j-\epsilon_j,x_j+\epsilon_j)$ para algunos $j$. A continuación,$f^{(m_j)}(x)\neq 0$$(x_j-\epsilon_j,x_j+\epsilon_j)$, e $m_j\leq M$.
Es esta la solución correcta, o puede ser mejor?
