Calcular el volumen de un toroide dadas las circunferencias

Question

¿Cuál es la fórmula, si la hay, para calcular el volumen de un toroide dada la circunferencia del tubo y la circunferencia exterior del anillo?

Answer 1

Por Teorema del centroide de Pappus el volumen de un toro generado por la rotación de un círculo de radio $r$ con su centro en un círculo de radio $R$ viene dado simplemente por $2\pi^2 r^2 R$ . En nuestro caso tenemos $\color{purple}{l}=2\pi r$ y $\color{green}{L}=2\pi(R+r)$ Por lo tanto:

$$\boxed{ \color{red}{V} = \frac{1}{4\pi}\color{purple}{l}^2(\color{green}{L}-\color{purple}{l})}$$

Answer 2

Dado que se puede describir el volumen de un toro usando los radios de los dos círculos, la respuesta es sí. Supongamos que la circunferencia del anillo mayor viene dada por $C$ y la circunferencia del anillo más pequeño viene dada por $c$ .

Del mismo modo, dejemos que $R$ representan el radio central del anillo mayor y $r$ representan el radio del anillo más pequeño. Esto viene dado por la imagen

Así, la circunferencia está relacionada con el radio por

$$C=2\pi (R+r)$$ $$c=2\pi r$$

Resolviendo estos para $R$ y $r$ produce

$$R=\frac{C-c}{2\pi}$$ $$r=\frac{c}{2\pi}$$

Utilizando la fórmula del volumen de un toroide $V=\pi r^2 \cdot 2 \pi R$ obtenemos

$$V=\pi \left(\frac{c}{2\pi}\right)^2\cdot 2\pi \frac{C-c}{2\pi}=\frac{c^2(C-c)}{4\pi}.$$

Expresa el volumen de un toro usando la circunferencia.

Answer 3

Ya hay dos respuestas aquí, pero me adelanté y calculé el volumen utilizando la ecuación paramétrica del toro, dada por

\begin {align}&x=(a+r \cos v) \cos u \\ &y=(a+r \cos v) \sin u \\ &z= r \sin v \end {align}

donde $a$ es la distancia del origen al centro del "tubo", $r$ es el radio del propio "tubo", y $u$ y $v$ son dos parámetros correspondientes al ángulo central y al ángulo circular dentro del "tubo".

El jacobiano laboriosamente calculado (que da la magnitud del elemento de volumen en cada punto dentro del toro) es simplemente $ar + r^2\cos v\,dr\,dv\,du$ por lo que el volumen del toro viene dado por la integral

$$\int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi}\int_0^r ar + r^2\cos v\,dr\,du\,dv=2\pi^2r^2R$$

como se desee.

Edición: Como estoy doblemente aburrido, me he adelantado y he encontrado el volumen utilizando el método del sólido de revolución. El toro puede ser considerado como el sólido construido por la rotación de un círculo alrededor de la $z$ eje. El volumen viene dado por la integral doble

$$2\pi\int_{-r}^r\int_{-\sqrt{r^2-x^2}+R}^{\sqrt{r^2-x^2}+R}y\ dy\,dx=2\pi^2 r^2 R$$

Técnicamente, las variables deberían invertirse, pero la respuesta es la misma.