A pesar de mis repetidos esfuerzos no he podido encontrar el algoritmo para calcular la red de subgrupos para ningún grupo. GAP lo hace muy bien pero necesito el algoritmo ya que estoy tratando de implementar las cosas yo mismo también.
Respuesta
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Para calcular la red de subgrupos de grupos pequeños como $S_6$ El método de Zuppos es fácil de entender, no es demasiado difícil de aplicar y es razonablemente rápido.
El método se describe en El libro de texto de Butler . Fue descrita originalmente por Neubüser (1960).
La idea es que los grandes subgrupos $H$ provienen de pequeños subgrupos $K$ . De hecho, podemos exigir $K \lhd H$ y $[H:K] =p$ (a menos que $H$ es muy especial). Así que empezamos con $K=1$ y luego encontrar todos los subgrupos de orden primo. Para cada uno de ellos, comprobamos qué elementos de orden apropiado normalizan $K$ y colindar con ellos. Si $x$ normaliza $K$ entonces $|\langle x,K\rangle| = |xK| \cdot |K|$ donde el primer factor $|xK|$ es el orden de $x$ mod $K$ .
Para hacer esto más eficiente, precalculamos una lista de zuppos (subgrupos cíclicos de orden de potencia primo), y simplemente averiguamos qué zuppos se encuentran en el grupo. Los subgrupos se enumeran como vectores binarios, con el $i$ valor booleano de la posición que describe si el $i$ El zuppo está contenido en el subgrupo.
En el libro se incluyen detalles de aplicación, ejemplos y debates.
Esta técnica debería llevarte al grupo simétrico $S_8$ o así, pero necesitarás la lista de grupos perfectos (el especial $H$ que no provienen de un $K$ ). Está disponible en microficha. También en GAP.
La aplicación del GAP es la línea 259 de lib/grplatt.gi
- Neubüser, J. "Investigaciones de la red de subgrupos de grupos finitos en una máquina dual de electrones controlada por programa". Numérico. Math. 2 (1960) 280-292. MR 117939 DOI: 10.1007/BF01386229
- Butler, G. Algoritmos fundamentales para grupos de permutación. Lecture Notes in Computer Science, 559. Springer-Verlag, Berlín, 1991. xii+238 pp. ISBN: 3-540-54955-2 MR 1225579 DOI: 10.1007/3-540-54955-2
