Que $a,b,c,d$ ser enteros. ¿Cómo puedo demostrar que la ecuación $$(7a+1)x^3+(7b+2)y^3+(7c+4)z^3+(7d+1)xyz=0$ $ no tiene un entero solución $(x,y,z)$ tal que $\gcd(x,y,z)=1$?
Respuestas
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modulo $7$, la ecuación es $x^3 + 2y^3 + 4z^3 + xyz = 0$. Cubos modulo $7$$0,1,-1$.
Si uno de $x,y,z$$0$, por ejemplo si $z = 0$, entonces usted consigue $x^3 + 2y^3 = 0$, lo cual sólo es posible si $x=y=0$. Así que o $x=y=z=0$ o son todos distintos de cero.
Si ellos no son cero, entonces se $x^6 = y^6 = z^6 = 1$. Si usted toma $xyz = -(x^3 + 2y^3 + 4z^3)$ cubo, consigue $(xyz)^3 = -5(x^3 + y^3 + z^3)+(xyz)^3$, lo que implica que $x^3+y^3+z^3 = 0$. Pero ya que los cubos se $1$ o $-1$, que esta vez es imposible.
Por lo tanto la única solución modulo $7$$x=y=z=0$, lo que para cualquier solución, $x,y,z$ tienen que ser múltiplos de $7$. En particular, no puede ser cualquier primitiva de la solución, así que no hay ninguna solución en absoluto.
David HAust
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A continuación es una solución muy simple que evita la aritmética peluda (omitida) en la solución aceptada. Como allí, reducir a $\rm\:x,y,z \not\equiv 0\:.$ brecha $\rm\: x^3\:$ a $\rm\: f_{a,b} = 1 + 2\ a^3 + 4\ b^3 + a\:b \equiv 0\ \ (mod\ 7)\:,$ $\rm\: a = y/x\:,\ b = z/x\:.\ $ $\rm\: n\not\equiv 0\ \Rightarrow\ n^3 \equiv \pm1\ (mod\ 7)\:$ rendimiento $4$ posibilidades $\rm\ a^3 \equiv \pm1,\ b^3 \equiv \pm 1\:.\:$ E.g. $\:$ Si $\rm\ a^3 \equiv 1,\ b^3 \equiv -1\ $ luego pasa a ser $\rm\:f_{a,b}\:$ $\rm\ a\:b \equiv 1\ $contra $\rm\ (ab)^3 \equiv a^3\ b^3 \equiv (1)(-1) \equiv -1\:.\ $ razonamiento muy similar demuestra simplemente y rápidamente que los restantes casos de $3$ son irresolubles.
