¿Aplicación básica del teorema de galois fundamental?

Question

Que $E/F$ sea una extensión de galois con grupo $S_n$. que $G$ ser el estabilizador de $1$ y $H$ ser generada por el ciclo $(1,\dots ,n)$. Necesito encontrar $[E^GE^H:F],[E^G:F],[E^H:F],[E^G\cap E^H:F]$.

$[E^G:F]$ tengo $n$ por Teorema del estabilizador de la órbita. $[E^H:F]$ tengo $(n-1)!$ utilizando la regla de la torre y el subgrupo generado por el ciclo tiene orden $n$. ¿Cómo obtener los otros dos aunque?

Answer 1

Voy a hacer la última de ellas, con la esperanza de que es correcto. Observe que $ m \in E^G \cap E^H$ si y sólo si $\sigma(m)=m$ y $\tau(m)=m$ % todo $\sigma \in G$y $\tau \in H$, si y sólo si $m \in E^{<G, H>}$. No es demasiado difícil ver $<G, H>= S_n$. Así que el grado deseado es $1$.