¿Depende la incorporación de $\mathbb{Q}_p \cap \overline{\mathbb{Q}}$ $\overline{\mathbb{Q}}$ $\overline{\mathbb{Q}_p}$?

Question

Creo que el título casi lo dice todo. Que confundo en las partes sutiles de una prueba y agradecería algo de ayuda.

Answer 1

Una vez que usted fija una clausura algebraica $\overline{\mathbb{Q}_p}$, el subcampo $\overline{\mathbb{Q}}$ se determina únicamente como el más pequeño algebraicamente cerrado que contiene el campo principal, para incrustaciones todos tienen la misma imagen de subcampo.

Answer 2

Hay una sutileza aquí.

$\overline{\mathbb{Q}}\cap \mathbb{Q}_p$ está bien definido como un subcampo de la $\mathbb{Q}_p$ ya que es simplemente el conjunto de elementos que son algebraicos sobre $\mathbb{Q}$.

Sin embargo, como un subcampo de la $\overline{\mathbb{Q}}$, esto es no canónica. La elección de la incrustación $\phi: \overline{\mathbb{Q}}\rightarrow \overline{\mathbb{Q}_p}$ equivale a la elección de un lugar de $\overline{\mathbb{Q}}$ se encuentra por encima del $p$. La inducida por el subcampo $\phi^{-1}(\mathbb{Q}_p)\subset \overline{\mathbb{Q}}$ será la máxima subcampo en el que este lugar se divide. Esto depende mucho del lugar que hemos elegido! Este campo no es de Galois sobre $\mathbb{Q}$, y su Galois conjugados de reflejar las otras opciones de incrustaciones.

He aquí otra manera de decirlo. La incrustación $\phi$ le da una opción de descomposición grupo

$D_p\subset$ Gal$(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$. Entonces

$\phi^{-1}(\mathbb{Q}_p)=\mathbb{\overline{Q}}^{D_p}$.