¿Cómo puedo escribir esta serie de energía ($1+x+2x^2+2x^3+3x^4+3x^5+4x^6+4x^7+5x^8....$) como serie de energía representación (como $\dfrac{1}{1-x}$ o algo limpio)?
Respuestas
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SBareS
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Me gustaría ir sobre esto por primera división la serie:
$$1+x+2x^2+2x^3+3x^4+3x^5+...=(1+x)(1+2x^2+3x^4+...)$$
Que $s=1+2x^2+3x^4$ podemos hacer un par de trucos:
$$s-x^2s=\begin{array}{c} 1&+2x^2&+3x^4+... \\ &-x^2&-2x^4-...\end{array}$$ $$=1+x^2+x^4+...$$
Que converge a $\frac{1}{1-x^2}$ $-1 < x < 1$ (probar esto no es difícil y puede hacerse mediante una técnica como el de arriba). Esto le da
$$s -x^2s=\frac{1}{1-x^2}\Leftrightarrow s=\frac{1}{(1-x^2)^2}=$$
Así, la serie original converge a:
$$(1+x)s=\frac{(1+x)}{(1-x^2)^2}$$
$-1 < x - 1$.
Clement C.
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Si no me equivoco, es % $ $$\sum_{n=1}^\infty nx^{2n-2} + \sum_{n=1}^\infty nx^{2n-1}$si usted puede calcular uno de los dos términos, por ejemplo, $\sum_{n=1}^\infty nx^{2n-2} = \sum_{n=0}^\infty (n+1)x^{2n} = \sum_{n=0}^\infty (n+1)(x^{2})^n$ (véase por ejemplo este, entonces usted también conseguirá el otro término (multiplicando por $x$) y por lo tanto la suma.
Anthony Shaw
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858
Una forma es mirar a $ 1 + 2 x ^ 2 + 3 x ^ 4 + 4 x ^ 6 + 5 x ^ 8 + \dots $$ $ $ 1 + 2t + 3t ^ 2 + 4t ^ 3 + 5t ^ 4 + \dots $$ donde $t=x^2$. La última serie es el derivado de $ 1 + t + t ^ 2 + t ^ 3 + t ^ 4 + t ^ 5 + \dots=\frac1 {1-t} $$ por lo tanto, $$ 1 + 2t + 3t ^ 2 + 4t ^ 3 + 5t ^ 4 + \dots=\frac1 {(1-t) ^ 2} $ y $$ 1 + 2 x ^ 2 + 3 x ^ 4 + 4 x ^ 6 + 5 x ^ 8 + \dots=\frac1 {(1-x ^ 2) ^ 2} $$ ahora, simplemente multiplicar por $1+x$: $$\begin{align} 1+x+2x^2+2x^3+3x^4+3x^5+4x^6+4x^7+5x^8+5x^9+\dots &=\frac{1+x}{(1-x^2)^2}\\ &=\frac1{(1-x)(1-x^2)} \end {Alinee el} $$
