La característica de Euler de un espacio topológico es la alternancia de la suma de las filas de espacio, la homología de grupos. Desde homeomórficos espacios isomorfos homología de grupos, sin embargo, incluso la no-alternando la suma de las filas de los grupos de homología es un invariante. Así, hay una razón intuitiva de por qué la característica de Euler debe ser definido como una alternancia de suma en lugar de un no-alternando suma -- aparte del hecho de que otros teoremas, como el de Gauss-Bonnet, rompería (o, al menos, la necesidad de ser re-trabajó)? Es esta relacionado con el rango de ser aditivo? Si es así, entonces una pregunta histórica: ¿qué habría sido la motivación original de Euler para considerar la posibilidad de una alternancia de suma?
Respuestas
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No sé cómo intuitiva esto va a ser, pero aquí es lo que yo pienso de ella. Es similar a lo que Travis se menciona en los comentarios. Tenemos la característica de Euler para no cambiar cuando se cambia la triangulación. Considere el siguiente triangulación del avión.
Este gráfico tiene 4 vértices, 5 bordes, y 3 caras, lo que nos da el $4-5+3=2$ nos espera. Ahora, si vamos a pretender que no sabemos cómo calcular la característica de Euler, y sólo que no queremos que cambiar si queremos cambiar la triangulación, vemos que la ventaja de nuevo y el nuevo vértice necesidad de cancelar los unos a los otros.
También necesitamos que esto funcione para las caras, de modo que si queremos eliminar un borde, vamos a disminuir el número de aristas y disminuir el número de caras. Nosotros todavía no lo quiero cambiar.
Así, aristas y caras también deben cancelar a la otra. La manera más fácil para obtener la característica de Euler que permanecen invariantes bajo estos cambios es tener incluso dimensiones contar de manera positiva y las dimensiones impares ser negativo. Como dije, esto es lo que yo pienso que, es de esperar que ayuda a su intuición.
Escribí un post en el blog abordar esta cuestión aquí. En ese post voy a mostrar que esta alternancia de comportamiento (una más simple, pero menos general la versión de los cuales vienen de contar "células") es forzado por un par de naturales axiomas, el más importante de los cuales es una inclusión-exclusión axioma
$$\chi(A \cup B) = \chi(A) + \chi(B) - \chi(A \cap B)$$
donde algunas de las restricciones a $A$ $B$ son necesarios. También pido para homotopy invariancia en ese post, pero ahora creo que esto es innecesario.
La característica de Euler puede ser computada desde el número de células de cada dimensión. La suma no alterna (u otras funciones de las filas) no pueden. La característica de Euler tiene fórmulas agradables cuando $X=X_1\cup X_2$, o cuando $X=X_1\times X_2$, o cuando $X$ es un paquete de etcetera. La suma no alterna (u otras funciones de las filas) no han.
