Subgrupos normales en grupos de orden impar

Question

Incluí la siguiente pregunta en mi final de álgebra de primer año este año: Supongamos que $G$ es un grupo finito de orden impar y $N$ es un subgrupo normal de orden $5$. Demuestra que $N\le Z(G) (Por cierto, esta pregunta ha sido planteada en este sitio antes.)

La demostración que les guié es la siguiente: todas las clases de conjugación de $G$ tienen orden impar; dado que $N$ es normal, es una unión de clases de conjugación. Las únicas posibilidades son $3$, $1$, $1$ y cinco $1$. En cualquier caso, $N$ contiene un elemento no identidad cuya clase de conjugación consiste solo de él mismo, por lo que está en $Z(G); pero ese elemento genera $N\cong \mathbb{Z}/5$ y el resultado sigue.

Así que sea $S(p)$ la siguiente afirmación: Si $G$ es un grupo finito de orden impar y $N$ es un subgrupo normal de orden $p$, entonces $N\le Z(G)$. ¿Para cuáles (impares) $p$ es esto válido? El argumento anterior muestra que es válido para $p=5$, pero claramente esa demostración no funcionará para $p>5.

De hecho, si $p$ es un primo que no es un número primo de Fermat, $S(p)$ es falso; sigue un contraejemplo. Sea $q$ un primo impar que divide a $p-1$, y considera el grupo no abeliano $G$ de orden $pq$. Debe tener solo un subgrupo de Sylow de $p$, ya que el número de tales subgrupos divide a $q$ y $\equiv 1\mod{p}$, entonces es normal. Así que $G$ satisface las condiciones del teorema. Pero el centro de $G$ es trivial ya que de lo contrario $G/Z(G)$ es cíclico y así $G$ sería abeliano. Este contraejemplo no funciona cuando $q=2$ ya que el grupo de orden $pq$ tiene orden par.

Entonces mi pregunta es: ¿$S(p)$ es válido cuando $p$ es un número primo de Fermat?

Answer 1

Sí, esto es válido para los números primos de Fermat. Necesitas la siguiente observación. A esto a veces se le llama el Teorema $N/C$.

Lema Sea $G$ un grupo con un subgrupo $H$, entonces $N_G(H)/C_G(H)$ se incrusta de manera homomórfica en Aut$(H)$.

Aquí $N_G(H)=\{g \in G : gH=Hg\}$, el normalizador de $H$ en $G$ y $C_G(H)=\{g \in G : gh=hg \text { para todo } h\in H\}$, el centralizador de $H$ en $G.

Ahora apliquemos esto a la situación donde $N=H$ es normal, $|N|=$ número primo de Fermat y $|G|$ es impar. Entonces $N_G(N)=G$ debido a la normalidad de $N$. Y dado que $N$ es cíclico, $|Aut(N)|$ es una potencia de $2$ (de hecho $|N|-1$). Se sigue del teorema $N/C$ que $|G/C_G(N)|$ es una potencia de $2$. Pero obviamente también divide a $|G|$, que es impar. Esto solo puede ser cuando $G=C_G(N)$, es decir, $N \subseteq Z(G).

Entonces, ¿cómo se prueba el lema? Permítanme darles un esquema y dejar los detalles con ustedes: $N_G(H)$ actúa como automorfismos en $H$ por conjugación. El núcleo de la acción es $C_G(H).

Generalizaciones:

Proposición 1 Sea $G$ un grupo finito, $N$ un subgrupo normal de orden primo $p$, con gcd$(|G|,p-1)=1$, entonces $N \subseteq Z(G).

Nótese que esto es válido para $p=2$: un subgrupo normal de orden $2$ debe ser central.

Proposición 2 Sea $G$ un grupo finito, $N$ un subgrupo normal de orden primo $p$, donde $p$ es el menor primo que divide a $|G|$. Entonces $N \subseteq Z(G).

Answer 2

Sea $N$ un grupo cíclico de orden primo, y sea $A$ cualquier grupo de automorfismos de $N$. Entonces las órbitas de $N\setminus\{e\}$ bajo $A$ tienen todas el mismo tamaño. (La demostración es sencilla, basada en el hecho de que cada elemento de $N\setminus\{e\}$ es un generador de $N$, y por lo tanto cada elemento de $N\setminus\{e\}$ es una potencia de cualquier otro elemento.) Tenga en cuenta que esto se cumple para su contraejemplo: todas las órbitas tienen tamaño $q$.

En particular, si $N$ es un subgrupo normal de $G$, entonces tomando $A$ como $G$ actuando por conjugación, vemos que todas las clases de conjugación en $N\setminus\{e\}$ tienen el mismo tamaño. Además, si $N$ tiene orden impar, entonces todas estas clases de conjugación tienen tamaño impar. Finalmente, si el orden de $N$ es un primo de Fermat, entonces el único divisor impar de $\#N-1$ es 1. Por lo tanto, cada elemento de $N$ es su propia clase de conjugación, por lo tanto está en el centro.

(PD: ¡De ninguna manera podría haber respondido esta pregunta si no lo hubieras escrito tan bien!)

Answer 3

Además de las cosas que respondí aquí, solo quiero agregar el dual de la Proposición 1:

Proposición 1* Sea $G$ un grupo finito y $H$ un subgrupo de índice primo $p$, con gcd$(|G|,p-1)=1$. Entonces $G' \subseteq H.

Tenga en cuenta que esto implica que $H \unlhd G$ y de hecho es suficiente demostrar que $H$ es normal, ya que entonces $G/H \cong C_p$ es abeliano.

Prueba Esto es más sofisticado que la prueba a continuación: primero, podemos asumir por inducción en $|G|$ que $H$ es core-free, es decir core$_G(H)=\bigcap_{g \in G}H^g=1$. Esto significa que $G$ se puede embeber homomórficamente en $S_p$. Sea $P \in Syl_p(G)$ y tenga en cuenta que como $|S_p|=p \cdot (p-1) \cdots \cdot 1$, $|P|=p$. Por el Teorema de $N/C$, $N_G(P)/C_G(P)$ se embebe en Aut$(P) \cong C_{p-1}$. Por la suposición gcd$(|G|,p-1)=1$, obtenemos que $N_G(P)=C_G(P)$. Dado que $P$ es abeliano, tenemos $P \subseteq C_G(P)$, por lo que $P \subseteq Z(N_G(P))$. Ahora podemos aplicar el Teorema de Burnside del complemento normal $p$, lo que implica que $P$ tiene un complemento normal $N$, es decir, $G=PN$ y $P \cap N=1. Tenga en cuenta que $|G/N|=p.

Mire la imagen de $H en $G/N$. Entonces $G=HN$ o $HN=N. En el último caso, $H \subseteq N y $|G:H|=|G:N|=p, por lo que $H=N y hemos terminado si podemos refutar el primer caso. Si $G=HN, entonces $|G:H \cap N|=|G:N|\cdot|N:H \cap N|=|G:N|\cdot |G:H|=p \cdot p=p^2, lo cual contradice el hecho de que $|G| \mid |S_p|. La prueba está completa ahora.

Corolario 1 Sea $G$ un grupo finito y sea $H$ un subgrupo con $|G:H|=p, el menor primo que divide al orden de $G. Entonces $G' \subseteq H. En particular, $H$ es normal.

Corolario 2 Sea $G$ un grupo finito y sea $H$ un subgrupo con $|G:H|=p y gcd$(|H|,p-1)=1. Entonces $H$ es normal.

Observe que este último resultado brinda un resultado conocido para $p=2. Finalmente, por diversión:

Corolario 3 Sea $G$ un grupo finito de orden impar y $H$ un subgrupo con $|G:H|=65537. Entonces $H$ es normal.