La división por $0$

Question

Pensé que era elemental para mí, pero he empezado a hacer algunos ejercicios y se acercó a algunas de las definiciones que tengo dificultad para distinguir. Entre paréntesis son mis preguntas.

1. $\dfrac {x}{0}$ es Imposible ( Si es imposible que no pueden ni tienen infinitas soluciones, o incluso uno. Sin embargo, tanto en $1.$ $2.$ se divide por cero, pero sólo $2.$ tiene infinitas soluciones, así como la $1.$ no tiene ninguna solución, cómo y por qué ?)

2. $\dfrac {0}{0}$ es Indefinido y tiene infinitas soluciones. (¿Cómo es que un ser Indefinido y sin embargo tiene infinitas soluciones ?)

3. $\dfrac {0}{x}$ $x \ne 0$ , está bien para mí, no hay problema, pero si alguien quiere añadir algo al respecto, siéntase libre de hacerlo.

Gracias de antemano.

Answer 1

La primera pregunta que necesitamos hacernos es: ¿Qué significa "$a/b$" significa?

La respuesta es: "$a/b$ es la única solución a la ecuación de $bz = a$." (Estoy usando $z$ como desconocido, ya que son de uso $x$ para otras cosas).

Dado que la respuesta, vamos a discutir los puntos de la orden:

(3) está perfectamente bien: $0/x$,$x\neq 0$, es la solución a $xz = 0$; la única solución es $z=0$, lo $0/x = z$. La razón es única, es porque $x\neq 0$, por lo que la única manera para que el producto se $0$ si $z$$0$.

En (1), por "imposible", nos referimos a que la ecuación que define no tiene soluciones: para que algo sea igual a$x/0$,$x\neq 0$, necesitaríamos $0z = x$. Pero $0z=0$ cualquier $z$, por lo que hay no hay soluciones a la ecuación. Ya que no hay soluciones a la ecuación, no hay tal cosa como "$x/0$". Por lo $x/0$ ¿ no representar cualquier número.

En (2), la situación es un poco más complicado; en términos de la definición de la ecuación, el problema aquí es que la ecuación de $0z=0$ tiene cualquier valor de $z$ como una solución (que es lo que la "infinitas soluciones" que significa). Puesto que la expresión $a/b$ significa que "la única solución a $bx= a$, luego al $a=b=0$, no tiene una respuesta única, así que no hay una "solución única".

Generalmente hablando, simplemente no definir "la división por $0$". El problema es que, una vez en el cálculo, que se va a encontrar situaciones en las que tienen dos variables cantidades, $a$$b$, y usted está pensando en $a/b$; y como $a$ $b$ cambios, usted quiere saber lo que sucede a $a/b$. En esas situaciones, si $a$ se aproxima $x$ $b$ se aproxima $y\neq 0$, $a/b$ enfoque de $x/y$, no hay problema. Si $a$ enfoques $x\neq 0$, e $b$ enfoques $0$, $a/b$ no se acerca a nada (los "límites no existen"). Pero si tanto $a$ $b$ enfoque de $0$, entonces usted no sabe lo que sucede a $a/b$; puede existir, no existen, o enfoque casi cualquier número. Nos dicen que este tipo de límite es "indeterminado". Así que hay una razón para la separación de los casos (1) y (2): muy pronto podrás ver una diferencia cualitativa importante entre el primer tipo de "no existe" y la segunda clase.

Answer 2

La clave es darse cuenta de lo que una fracción $\frac ab$ realmente representa: $\frac ab$ es el número con la propiedad de que $\frac ab \cdot b = a$.

Así, en el primer caso si $x \ne 0$, no hay ningún número $\frac x0$ con la propiedad de que $\frac x0 \cdot 0 = x$ ya que nada de veces cero es cero. Por lo $\frac x0$ es indefinido. En el segundo, cualquier número $y$ tiene la propiedad de que $y \cdot 0 = 0$, lo $\frac 00$ podría representar cualquier número $y$ de acuerdo con la anterior caracterización de una fracción, por lo $\frac 00$ se dice que el ser indeterminado. Por último, si $x \ne 0$ $0$ tiene la propiedad de que $0 \cdot x = 0$, lo $\frac 0x$ es el número de $0$.

Answer 3

Sólo para dar otro punto de vista puramente algebraica uno):

Suponga que tiene un anillo (una estructura matemática con la suma y la multiplicación en la satisfacción de un mínimo de leyes tienes que llamar a eso), y en ella hay un número $x$ tal que $x \cdot 0 = 1$. A continuación,$1 = x \cdot 0 = x \cdot (1 - 1) = x - x = 0$, lo que significa que para cualquier $y$ en este ring $y = y \cdot 1 = y \cdot 0 = y (1 - 1) = y - y = 0$, por lo que este anillo tiene un solo elemento. Tal anillo se llama trivial, y claramente no es una extensión de el anillo de los números enteros.

Si se puede dividir por cero, $1/0$ está definido y tiene que satisfacer a la propiedad de arriba. Por lo tanto, la división por cero es posible sólo en el trivial anillo.

Answer 4

Usted será bastante mucho nunca ver "0/0" o "x/0" en una situación donde alguien espera que usted realmente interpretar como tener un valor. Otro de los errores, de las veces se trata generalmente de la siguiente ordenación:

Para resolver la ecuación de $ax=b$$x$, considera que la expresión "$b/a$".

1. Si es de la forma "$0/0$", su ecuación tiene una infinidad de soluciones
2. Si es de la forma "$x/0$" para x distinto de cero, la ecuación no tiene soluciones
3. De lo contrario, la división tiene sentido y el resultado es la única solución

Usted puede escuchar la palabra "forma" que se menciona para referirse al hecho de que estamos hablando de una fórmula, y no el número de los que podrían ser el resultado de la evaluación de la fórmula. (especialmente en el contexto de los límites)

Es importante notar la diferencia, porque el número de sistema fue creado para que "$0/0$" y "$x/0$" no están permitidos -- son sin sentido cuando se ve como expresiones aritméticas. (lo mismo es cierto para los "$x/y$" si usted no sabe ya que el $y \neq 0$) Hay un montón de muy buenas razones por las que la aritmética fue creado de esta manera, y de las otras respuestas mencionar algunas de ellas.

Siento que debo mencionar que hay otras formas de aritmética que se comportan de manera diferente. El proyectiva números son a menudo útiles, y 1/0 tiene sentido en ellos (sino $0/0$ no). La rueda de la teoría es algo más esotérico, pero proporciona un ejemplo donde, incluso, $0/0$ tiene sentido. (y también demuestra claramente las dificultades en la adaptación de su existencia)