Factorizando el polinomio de tercer grado $x^3 - 3x^2 - 4x + 12$ usando la división larga.

Question

Estoy segura de que hay una mejor estrategia que alguien más inteligente que yo usaría, pero no soy esa persona.

Estoy tratando de factorizar$$x^3 - 3x^2 - 4x + 12 .$$

No sé cómo hacerlo, así que intento adivinar con la división larga. Hago trampa y miro la respuesta para saber uno de los factores y ahorrarme tiempo, así que pruebo con $x - 2$.

No estoy segura de cómo escribir la división larga, pero obtengo$$ (x - 2) \mid (x^3 - 3x^2 - 4x + 12) .$$

Así que sé que puedo tener un $x^2$ por cuántas veces $x$ entra en el término principal.

Restando todo, me queda$$ (x - 2 ) \mid (-x^2 - 4x + 12) .$$

Sé que el término principal entra en el término principal interno $-x$ veces o como sea que se diga.$$ (x - 2 ) \mid (- 2x + 12) .$$

Ahora $-2$:$$ (x - 2 ) \mid 8 .$$

Ahora no sé qué hacer, ¿cómo salió tan mal? Tengo $x^2 - x -2$ arriba, y tengo un resto de $8$. Esto no puede estar bien; hice trampa, así que sé que esto debería ser un factor.

Answer 1

Su primer término, en la división: $x^2$ es correcto $\large\checkmark$ (en el cociente), dejando

$$ x - 2 | -x^2 - 4x + 12\quad\large\checkmark$$

Sé que el término principal va en el término principal interno $-x$ veces o como se diga eso.

$$ x - 2 | - 2x + 12 \quad \longleftarrow \text{error}$$

Aquí restaste incorrectamente: Deberíamos tener $x^2 - x$ en el cociente, eso es correcto, pero al multiplicar $-x(x - 2) = -x^2 + 2x$

Así que cuando restamos, restamos, de $(-x^2 - 4x + 12) - (-x^2 + 2x) = -6x + 12$.

Ahora, tenemos $$ x -2 \mid -6x + 12$$ y nuestro cociente en curso se convierte en $x^2 - x {\bf - 6}$

lo cual, deja un residuo cero ya que $-6(x-2) = -6x + 12$, como se desea.

Entonces...tenemos que $$\frac{x^3 - 3x^2 -4x + 12}{x - 2} = x^2 - x - 6$$

O, es decir, $$x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = (x -2)(x^2 - x - 6) = (x-2)(x +2)(x - 3)$$

Answer 2

Cuando restaste $(-x)(x-2)$ deberías haber obtenido $-6x+12$. Te saltaste un signo ahí.

Answer 3

Como señala el comentario de Andrew Salmon, lo más fácil para intentar factorizar un polinomio cúbico es intentar emparejar los términos y ver si comparten un factor común. Si se emparejan en el orden en que están escritos, esto se convierte en

$$x^2(x-3)-4(x-3)$$

o si se emparejan los exponentes impares y pares juntos

$$x(x^2-4)-3(x^2-4)$$

Luego simplemente sacas el factor común.

Por supuesto, esto no siempre funcionará, cuando no lo haga, el método de adivinar raíces se conoce como el teorema de raíces racionales. Primero querrás intentar enchufando factores del término constante para ver si obtienes cero. $\pm1$ es el más fácil de revisar, luego en este caso también tendrías $\pm2,\pm3,\pm4,\pm6$ y $\pm12$. Si todos esos fallan, querrás probar cualquiera de esos valores dividido por un factor del término líder. Sin embargo, dado que tu término líder es $1$, no hay nada extra que probar aquí. Si encuentras una raíz, deberías poder manejar el cuadrático restante. Dudo que se espere que factorices polinomios cúbicos sin raíces racionales, posiblemente excepto la forma

$$x^3\pm a$$

en cuyo caso podrías usar la fórmula para la suma o diferencia de cubos incluso si $a$ no es un cubo perfecto.

Finalmente, aunque no es infalible, si sospechas que un polinomio es un múltiplo de $x-2$, entonces enchufar $2$ debería dar $0$. Dado que estás dividiendo por $x-2$, tu resto en cada paso también debería ser un múltiplo de $x-2$. Probar tus polinomios en cada paso revela

$$2^3-3(2)^2-4(2)+12=8-12-8+12=0$$ $$-(2)^2-4(2)+12=-4-8+12=0$$ $$-2(2)+12=-4+12=8$$

Esto implica que hubo un error en el resto $-2x+12$