Factorización de polinomios de tercer grado usando división larga

Question

Estoy seguro de que hay una estrategia mejor que alguien más inteligente que yo usaría, pero yo no soy esa persona.

Estoy tratando de factor de

$$x^2 - 3x^2 - 4x + 12$$

No sé cómo lo voy a tratar de adivinar con la división larga. Yo trampas y mira la respuesta, por lo que encontrar uno de los factores para salvarme a mí mismo tiempo, así que trate de x - 2

No estoy seguro de cómo escribir para la división larga pero me da

$$ x - 2 | x^3 - 3x^2 - 4x + 12$$

así que sé que puedo tener un $x^2$ de cuántas veces x entra en el líder plazo.

Subract todo y me quedo con

$$ x - 2 | -x^2 - 4x + 12$$

Sé que el término va en el interior de la líder plazo $-x$ veces o sin embargo usted dice que.

$$ x - 2 | - 2x + 12$$

Ahora -2

$$ x - 2 | 8$$

Ahora no sé qué hacer, ¿cómo este va tan mal? He a $x^2 - x -2$ ontop y tengo un resto de 8. Esto no puede ser correcto, me engañó, así que yo sé que esto debe ser un factor.

Answer 1

El primer término, en la división: $x^2$ es correcta $\large\checkmark$ (en el cociente), dejando

$$ x - 2 | -x^2 - 4x + 12\quad\large\checkmark$$

Sé que el término va en el interior de la líder plazo $-x$ veces o sin embargo usted dice que.

$$ x - 2 | - 2x + 12 \quad \longleftarrow \text{error}$$

Aquí se resta incorrectamente: se debe tener $x^2 - x$ en el cociente, que es correcto, pero multiplicando $-x(x - 2) = -x^2 + 2x$

Así que cuando nos resta, restamos, de $(-x^2 - 4x + 12) - (-x^2 + 2x) = -6x + 12$.

Ahora, tenemos $$ x -2 \mid -6x + 12$$ and so our ongoing quotient becomes $x^2 - x {\bf - 6}$

lo cual, deja un cero resto desde $-6(x-2) = -6x + 12$, como se desee.

Así que...tenemos que $$\frac{x^3 - 3x^2 -4x + 12}{x - 2} = x^2 - x - 6$$

O, lo que es, $$x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = (x -2)(x^2 - x - 6) = (x-2)(x +2)(x - 3)$$

Answer 2

Cuando usted resta $(-x)(x-2)$ usted debería haber recibido $-6x+12$. Cayó un cartel allí.

Answer 3

Como Andrew Salmón comentario de puntos, la cosa más fácil de probar en primer lugar para factorizar un polinomio cúbico es tratar a la par de los términos y ver si comparten un factor común. Si encontrado a su pareja en el orden en que están escritos, esto se convierte en

$$x^2(x-3)-4(x-3)$$

o si los pares y los impares exponentes pareadas

$$x(x^2-4)-3(x^2-4)$$

Luego, simplemente sacar el factor común.

Por supuesto, esto no siempre funciona, cuando no es así, el método de adivinación por las raíces que se conoce como la raíz racional teorema. Primero vamos a intentar conectar en los factores de la constante de plazo para ver si te dan cero. $\pm1$ es el más fácil de comprobar, a continuación, en este caso también tendría $\pm2,\pm3,\pm4,\pm6$$\pm12$. Si aquellos no todos, te gustaría probar alguno de los valores dividida por un factor de la líder plazo. Sin embargo, desde que su líder plazo es $1$, no hay nada extra para probar aquí. Si usted encuentra una raíz, usted debería ser capaz de manejar el resto cuadrático. Dudo que se espera que el factor de cualquier polinomios cúbicos con no racional raíces, a excepción posiblemente de la forma

$$x^3\pm a$$

momento en el cual usted podría utilizar la fórmula para la suma o diferencia de cubos incluso si $a$ no es un cubo perfecto.

Por último, aunque no es infalible, si usted sospecha que un polinomio es múltiplo de $x-2$, luego de conectar $2$ rendimiento $0$. Ya que estamos dividiendo por $x-2$, el resto en cada paso también debe ser un múltiplo de $x-2$. Las pruebas de su polinomios en cada paso revela

$$2^3-3(2)^2-4(2)+12=8-12-8+12=0$$ $$-(2)^2-4(2)+12=-4-8+12=0$$ $$-2(2)+12=-4+12=8$$

Esto implica que hubo un error en el resto $-2x+12$