distribución de producto categórico (conjunción) sobre coproductos (separación)

Question

En la clásica y intuitionistic proposicional de los cálculos, es muy sencillo, mediante deducción natural, para derivar $((A \land C) \lor (B \land C))$$(A \lor B) \land C$:

1. • Suponga $(A \lor B) \land C$.
2. • $A \lor B$ por la conjunción, la eliminación con el 1.
3. • $C$ por la conjunción, la eliminación con el 1.
4. • • Suponga $A$.
5. • • $A \land C$ por la conjunción introducción con 3 y 4.
6. • • $(A \land C) \lor (B \land C)$ por la disyunción introducción con 5.
7. • • Suponga $B$.
8. • • $B \land C$ por la conjunción introducción con 3 y 7.
9. • • $(A \land C) \lor (B \land C)$ por la disyunción introducción con 8.
10. • $(A \land C) \lor (B \land C)$ por la disyunción eliminación con el 2, 4-6 y 7-9.

En un tratamiento categórico de la misma, la conjunción es un producto, la disyunción es un subproducto, y la tarea es encontrar una flecha $h\colon (A \lor B) \land C \to (A \land C) \lor (B \land C)$. He estado dibujando diagramas conmutativos para un par de horas, sin embargo, y tal que la flecha es la presentación de sí mismo. La lógica de los productos, co-productos, y exponenciales, y debe ser, como yo lo entiendo, bicartesian cerrado. Que la definición de bicartesian cerrado incluye la condición de que los productos de distribuir a través de co-productos, y añade una ecuación apropiada. ¿Tengo que apelar a la ecuación para obtener $h$, o puedo demostrar la flecha quiero sin ella?

En cuanto a la motivación, ya tengo las flechas $f\colon A \land C \to D$ y $g\colon B \land C \to D$, así que puedo construir el subproducto de flecha $[f,g]\colon (A \land C) \lor (B \land C) \to D$. Había I $h$, podía construir lo que realmente quiero: $h \circ [f,g]\colon (A \lor B) \land C \to D$. Si no puedo construir una flecha $h$, tal como se describe, yo todavía estaría bien con una forma de demostrar que, dada una flecha $(A \lor B) \land C \to D$, otra flecha $(A \land C) \lor (B \land C) \to D$ que no apela a una flecha como $h$.

Answer 1

Usted puede curry $f$ $g$ para obtener flechas $f' \colon A \to D^C$$g' \colon B \to D^C$. El copairing de aquellos que, a continuación,$[f',g']\colon (A \lor B) \to D^C$, que luego pueden ser uncurried para conseguir una flecha $(A \lor B) \land C \to D$. Este enfoque también puede ser utilizado para construir la distribución de flecha, si desea que su lugar.

Tenga en cuenta que esto sólo se basa en la conjunción de proporcionar un monoidal cerrado de la categoría, y no requiere que la conjunción ser de la categoría de producto. Una doble construcción es posible que en un co-cerrado (que es el término correcto?) categoría de uso de co-alarmada a distribuir más de un producto, como en la lógica lineal donde multiplicativo de la disyunción y distribuye más de aditivo conjunción.