Valores propios aparecen cuando la dimensión de la matriz de índice cebe es un primer primer-th. ¿Por qué?

Question

Eché un vistazo a los autovalores de la matriz, que yo he llamado el Primer Índice de la Matriz (hay un nombre mejor?), construido como el siguiente: $$ P_{k,p_k}=P_{p_k,k}=1, $$ donde $p_k$ $k$th prime. $P$ es simétrica y por $k_\max=6000$ se ve como la figura de la izquierda:

El máximo autovalor se comporta extraño, puesto que a partir de tiempo al tiempo que lo tengo bultos que no puedo explicar (ver figura derecha). El valor más grande que me dieron era la $1.9021$$k_\max=6000$.

Tuve un vistazo más de cerca a los golpes. Graciosamente me di cuenta de que llegaran a ocurrir en: $1,2,3,5,11,31,127,709,5381,...$, pero lo gracioso acerca de eso?

Yo estaba a punto de publicar una pregunta acerca de los siguientes recursividad $\Phi: k \mapsto p_k$, lo que le da $1 \mapsto p_1=2 \mapsto p_2=3\mapsto p_3=5\mapsto p_5=11\mapsto p_{11}=31\mapsto p_{31}=127\mapsto p_{127}=709\mapsto p_{709} $

¿Cómo se explica?

Y cómo este ayuda a responder a mi pregunta original?

EDITAR La secuencia es conocida: OEIS/A007097. Se refiere a la Matula-Goebel número de la ruta desde la raíz del árbol de n+1 vértices. ¿Esto dar a alguien una pista?

EDIT 2.0 El mismo comportamiento que aparece cuando se restringe a los números primos $\bmod 4 \equiv 1$ o $\bmod 4 \equiv 3$: Los saltos en los valores propios aparecen para los números primos $5 \mapsto p_{4,1;5}= 37 \mapsto p_{4,1;37}= 397\mapsto p_{4,1;397}= 6229$. Para el otro caso es $3, 11, 71, 787,...$. También comprobé primos $\bmod 6\equiv 1$: mismo resultado...

Answer 1

Como me acabo de dar cuenta, el problema no tiene nada especial que hacer con los números primos. La cuestión se reduce a un subconjunto de la ecuación general de la ecuación: $$ P\cdot \vec x - \lambda \vec x =0 $$ Usted puede restringir este problema mediante la selección de la clase de conectado (a través de la reflexión sobre la diagonal) componentes del vector: $$ \begin{eqnarray} x_2-\lambda x_1&=0\\ x_3+ x_1-\lambda x_2&=0\\ x_5+ x_2-\lambda x_3&=0\\ \vdots\\ x_{p_{r}}+x_{p_{t}}-\lambda x_{p_{s}}&=0\\ x_{p_{s}}-\lambda x_{p_{t}}&=0\\ \end{eqnarray} $$ Digamos que hemos alcanzado un nuevo máximo autovalor en prime $p_k$. El sistema de ecuación crece de nuevo cuando lleguemos a prime $p_{p_k}$, generando el siguiente máximo autovalor.