La interpretación de la esfera de Riemann

Question

¿Es la esfera de Riemann algo más que una simple herramienta visual para ayudar a los estudiantes a entender los planos complejos, o el comportamiento de las funciones de valor complejo en el infinito, los puntos límite, etc.?

¿O existe una utilidad práctica en los cálculos de funciones de valor complejo utilizando la topología o geometría de la propia esfera?

Answer 1

La esfera de Riemann es un objeto esencial, y ciertamente no es una mera herramienta didáctica. Por un lado, la esfera de Riemann puede recibir la estructura de una variedad compleja utilizando los mapas $z \to z, z \to 1/z$ como los gráficos de $\mathbb{C} \to S^2$ . Entonces las funciones meromorfas en un dominio $\Omega$ son simplemente las funciones $f: \Omega \to S^2$ que son complejos diferenciables con respecto a esta estructura.

Otro ejemplo de uso de las propiedades de la esfera de Riemann es el siguiente: tomemos un mapa $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ que está acotado y es holomorfo. Porque $f$ está acotado, podemos incluir $\mathbb{C} \to S^2$ por $z \to z$ y fallar sólo $\infty$ . Pero como $f$ está acotado sabemos que la singularidad en $\infty$ es removible, por lo que obviamente (alternativamente por lo que a veces se llama "teorema de las singularidades removibles de Riemann") podemos definir $f$ en $\infty$ de manera que la función resultante sea $ \hat{f}: S^2 \to \mathbb{C}$ complejo diferenciable. Ahora $S^2$ es compacto y por lo tanto $\hat{f}(S^2)$ es compacto y, por tanto, cerrado, pero un mapa holomorfo no constante debe ser abierto, lo que implicaría que $\hat{f}(S^2)$ es $\mathbb{C}$ lo cual es absurdo, o $\emptyset$ También es ridículo. Así, $\hat{f}$ debe ser constante y, por lo tanto, también lo fue $f$ .

Esto da una bonita prueba de liouville que tiene un poco más de sabor topológico de lo que suele ser. Sin embargo, verás que, al desentrañar los enunciados utilizados, la prueba se revela como más o menos las mismas ideas, sólo que empaquetadas de una manera diferente.

Answer 2

La esfera de Riemann no es sólo una ayuda visual o una heurística intuitiva, es un objeto matemático de buena fe que existe por derecho propio. Por ejemplo, el teorema de uniformización establece que las tres superficies de Riemann simplemente conectadas son el disco unitario abierto, el plano complejo y la esfera de Riemann.

La definición de las superficies de Riemann imita la definición de las superficies lisas abstractas pero utilizando mapas de transición que son holomorfos en lugar de meramente lisos, por lo que es algo natural. En este contexto, las funciones meromorfas al plano complejo son funciones holomorfas a la esfera de Riemann. Topológicamente, la esfera de Riemann es efectivamente una esfera, por lo que el término está justificado. De hecho, es la compactación en un punto del plano complejo.

La esfera de Riemann es también el contexto natural para estudiar las transformaciones de Mobius, también conocidas como transformaciones lineales fraccionarias. Consideremos el espacio complejo $\Bbb C^2$ . Para obtener la línea proyectiva compleja $\Bbb P^1(\Bbb C)$ debemos modelar la acción de $\Bbb C^\times$ . Todos los elementos de esta línea proyectiva, escritos en coordenadas homogéneas, tienen el siguiente aspecto $[z,1]$ con $z\in\Bbb C$ con la excepción del punto $[1,0]$ que se puede interpretar como el "punto en el infinito" contiguo al plano $\Bbb C$ . Esta es una forma de definir la esfera de Riemann. La acción inducida de ${\rm PGL}_2(\Bbb C)$ puede expresarse mediante la regla $(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix})z:=\frac{az+b}{cz+d}$ con las convenciones de que dividir por $0$ produce $\infty$ y a la inversa.

En el entorno de la superficie de Riemann, estas transformaciones de Mobius son precisamente los automorfismos (por tanto, automapas conformes) de la esfera de Riemann.

Desde la perspectiva de la simetría y de los grupos de simetría, dado que estos mapas actúan transitivamente sobre la esfera (de hecho, sobre su haz de tangentes), se trata de un espacio homogéneo, lo que significa que el espacio se ve "igual" desde cualquier punto del espacio, al igual que ocurre con el espacio euclidiano, en el que se pueden aplicar traslaciones/desplazamientos para mover cualquier punto a cualquier otro punto y aplicar rotaciones para relacionar cualquier vector tangente con cualquier otro vector tangente. De este modo, intrínsecamente hablando, ningún punto es privilegiado o más especial que cualquier otro punto (no es el caso cuando se consideran las operaciones aritméticas, por supuesto), por lo que excluyendo el punto $\infty$ sería antinatural desde este punto de vista.

Answer 3

Inicialmente, la esfera $\mathbb{S}^2$ es sólo un conjunto de puntos. Los conjuntos están bien, pero son algo aburridos.

Pero podemos ir más allá: podemos dotar a la esfera de una topología para convertirla en un espacio topológico . La forma estándar de hacer esto convierte la esfera en un superficie compacta lo cual es agradable.

Podemos ir más allá: habiendo dado a la esfera su topología habitual, podemos dotarla de la estructura de un Superficie de Riemann . En otras palabras, es una superficie (que no es $\mathbb{C}$ ) sobre la que podemos hacer un análisis complejo.

Es genial que podamos hacer análisis complejos en superficies que no sean $\mathbb{C}$ . Uno podría preguntarse, por ejemplo, si los teoremas del análisis complejo que son verdaderos en $\mathbb{C}$ se trasladan a $\mathbb{S}^2$ o si se pueden demostrar teoremas sobre $\mathbb{C}$ mirando a $\mathbb{S}^2$ . Otros usuarios han dado respuestas que ilustran estas ideas.

Punto: La esfera de Riemann es la esfera con estructura extra. Es decir, "esfera de Riemann" es el nombre que damos a la esfera con su topología habitual y la estructura de superficie de Riemann.

Answer 4

Si la esfera de Riemann no es más que una "simple herramienta visual", entonces igualmente la Plano de Argand es una "simple herramienta visual". Es decir, escribir un número imaginario $z$ como $x+iy$ donde $x$ y $y$ son reales.

Jean-Robert Argand fue un aficionado que hizo una valiosa contribución a las matemáticas.