Cómo demostrar que $C^k(\Omega)$ no está completo

Question

Dejemos que $\Omega \subset\mathbb{R}^n$ sea un dominio acotado. Y consideremos el conjunto de todas las funciones k veces diferenciables $C^k(\Omega)$ . Quiero demostrar que este conjunto no es completo con el producto interior $\langle f,g\rangle=\int\limits_{\Omega}f\cdot g\text{ } dx$ .

En primer lugar, ¿es correcta mi hipótesis? No estoy seguro de ello. Además, necesito ayuda para encontrar una buena secuencia de Cauchy, que no tenga límite.

Tal vez sea fácil considerar el caso especial $\Omega =(0,1)$ y $k=1$ . Pero no pude encontrar un buen C-S. todavía. Espero que me puedan ayudar.

Saludos

Answer 1

Ok, voy a tratar de escribir una explicación completa del ejemplo clásico dado en el comentario anterior. Considere las funciones $$ f_n(t)=\begin{cases}0\qquad\qquad\qquad\qquad t\in\left(0,\frac{1}{2} -\frac{1}{2n}\right)\\\frac{1}{2}+n\left(t-\frac{1}{2}\right)\qquad t\in\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{2n},\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}\right]\\1\qquad\qquad\qquad\qquad t\in\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2n},1\right)\end{cases} $$ Es fácil comprobar que $\{f_n\}_{n=1}^\infty\subset C^0((0,1))$ . Además, se trata de una sucesión de Cauchy. En efecto, $$ \lim\limits_{N\to\infty}\sup\limits_{m,n>N}\Vert f_n-f_m\Vert_2 =\lim\limits_{N\to\infty}\sup\limits_{m,n>N}\frac{|m-n|}{(24mn\max(m,n))^{1/2}} \leq\lim\limits_{N\to\infty}\frac{1}{(24N)^{1/2}}=0 $$ Supongamos que existe $f\in C^0((0,1))$ tal que $\lim\limits_{n\to\infty}\Vert f_n-f\Vert_2=0$ .

Supongamos que existe $t_0\in\left(\frac{1}{2},1\right)$ tal que $f(t_0)\neq 1$ . Desde $f$ es continua entonces existe la vecindad $U_\delta(t_0)$ tal que para todo $t\in U_\delta(t_0)$ tenemos $|1-f(t)|\geq\frac{|1-f(t_0)|}{2}$ . Ahora toma $\delta'=\min\left(\delta,t_0-\frac{1}{2}\right)$ , por lo que podemos suponer $U_{\delta'}(t_0)\subset \left(\frac{1}{2},1\right)$ . Definir $N=\frac{4(t_0-\delta')-1}{2}$ , entonces para todos los $n>N$ tenemos $U_{\delta'}(t_0)\subset \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2n},1\right)$ . Tenga en cuenta que para todos los $n>N$ y $t\in U_{\delta'}(t)$ tenemos $f_n(t)=1$ Así que $$ \Vert f_n-f\Vert_2^2= \int\limits_{(0,1)}|f_n(t)-f(t)|^2dt\geq \int\limits_{(t_0-\delta',t_0+\delta')}|f_n(t)-f(t)|^2dt= $$ $$ \int\limits_{(t_0-\delta',t_0+\delta')}|1-f(t)|^2dt\geq \int\limits_{(t_0-\delta',t_0+\delta')}\left(\frac{1-f(t_0)}{2}\right)^2dt\geq \frac{\delta'(1-f(t_0))^2}{2}>0 $$ y como consecuencia $$ 0=\lim\limits_{n\to\infty}\Vert f_n-f\Vert_2^2\geq\frac{\delta'(1-f(t_0))^2}{2}>0 $$ Por lo tanto, la contradicción $f(t_0)=1$ para todos $t_0\in\left(\frac{1}{2},1\right)$ . Del mismo modo, se puede demostrar que para todo $t_0\in\left(0,\frac{1}{2}\right)$ también tenemos $f(t_0)=1$ . Ahora bien, tenga en cuenta que $$ \lim\limits_{t\to 1/2-0}f(t)=0\qquad\qquad\lim\limits_{t\to 1/2+0}f(t)=1 $$ así que $f$ ¡no es continua! Contradicción.

Answer 2

Las funciones suaves del soporte compacto ${\mathcal C}^\infty_c(\Omega)$ son densos en ${\mathcal L}^2(\Omega)$ . Por lo tanto, cualquier subespacio de funciones acotadas continuas o continuamente diferenciables es también denso en ${\mathcal L}^2(\Omega)$ . Un subconjunto de un espacio métrico completo es a su vez completo si y sólo si es un subconjunto cerrado.

Como hay muchas funciones discontinuas en ${\mathcal L}^2(\Omega)$ hemos terminado.