¿Cómo debo solucionar esta pregunta sobre la integración?

Question

¿Quiero responder a esta pregunta: si $$ \lim_{n \to\infty} n ^ k \int_0^{1/n} x ^ {x + k-1} dx = f(k) $$ $k \in \mathbb N$, lo que es $$ \left[\frac{1}{f(5)} \right], $$ donde los corchetes denotan la función entero mayor (es decir, ceil)?

Intenté sustituyendo $t = x + k - 1$, pero se quedó atascado.

Answer 1

Como innisfree sugerida en su comentario, esto es un caso ideal para el teorema del apretón.

Desde $n \in \mathbb{N}$, tenemos $x \in [0,1/n] \subseteq [0,1]$ hasta el más grande los exponentes, mientras menor sea el número. Por lo tanto

$$\int_0^{1/n}x^{1/n + k - 1} \,dx < \int_0^{1/n} x^{x+k-1} \,dx < \int_0^{1/n} x^{0+k-1} \,dx$$

$$\frac{1}{(1/n+k)n^k} < \int_0^{1/n} x^{x+k-1} \,dx < \frac{1}{kn^k}$$

$$\frac{1}{1/n+k} < n^k\int_0^{1/n} x^{x+k-1} \,dx < \frac{1}{k}$$

y tomando el límite como $n \to \infty$ nos encontramos con

$$\lim_{n \to \infty} n^k\int_0^{1/n} x^{x+k-1} \,dx = \frac{1}{k}$$

Answer 2

Prueba $y= nx $. La integral simplifica, $$ \lim_{n\to\infty}\int_0^1 \left(\frac yn \right)^{\frac yn} y^{k-1} dy = \int_0^1 y^{k-1} dy = 1/k $$ The first factor in the integrand gives 1 when we take the limit. Así encontramos $1/f(5) = 5$.