¿Cuál es el trabajo y

Question

Cuál es el %#% $ #%

Sé que el $$\lim_{n\rightarrow \infty }\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^n}$, así que quería buscar el límite de la misma manera tomando $\lim_{n\rightarrow \infty }\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e$ dos veces pero encontré la solución se convirtió en no fácil. Cualquier ayuda

Answer 1

Sugerencia: observar que: $$\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n^n}> \left(\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\right)^n> 2^n$$ for sufficiently large $n$.

Answer 2

Let $$A_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^n}$$ Taking logarithms $$\log(A_n)=n^n \log\left(1+\frac{1}{n}\right)$$ Now consider Taylor for $\log(1+x)$ when $x$ is small; in the expression, replace $x$ by $\frac 1n$ to get $$\log\left(1+\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{n}-\frac{1}{2 n^2}+\frac{1}{3 n^3}+O\left(\left(\frac{1}{n}\right)^4\right)$$ $$\log(A_n)=n^{n-1}n\Big(\frac{1}{n}-\frac{1}{2 n^2}+\frac{1}{3 n^3}+\cdots\Big)=n^{n-1}\Big(1-\frac{1}{2 n}+\frac{1}{3 n^2}+\cdots\Big)$$ So, for large $n$, $$A\approx e^{n^{n-1}}$$

Answer 3

Aquí está la solución, tal vez, usted está buscando:

No $L=\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{n^{n}},$\begin{eqnarray*} \log L &=&\log \lim_{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{n^{n}} \\ &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\log \left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{n^{n}} \\ &=&\lim_{n\rightarrow \infty }n^{n}\log \left( 1+\frac{1}{n}\right) \\ &=&\lim_{n\rightarrow \infty }n^{n-1}\times n\log \left( 1+\frac{1}{n}% \right) \\ &=&\lim_{n\rightarrow \infty }n^{n-1}\times \frac{\log \left( 1+\frac{1}{n}% \right) }{\frac{1}{n}} \\ &=&\lim_{n\rightarrow \infty }n^{n-1}\times \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{% \log \left( 1+\frac{1}{n}\right) }{\frac{1}{n}} \\ &=&\infty ^{\infty }\times 1=\infty . \end{eqnarray *} entonces\begin{equation*} L=e^{\infty }=\infty . \end{ecuación *} aquí que he utilizado el límite estándar siguiente\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\log \left( 1+x\right) }{x}=1. \end{ecuación *}