Un problema de cálculo supuestamente fácil

Question

Encuentre los valores de $m$ si la línea $y=mx+2$ es una tangente a la curva $x^2-2y^2=1$ .

Mi trabajo:

Primero diferenciamos $x^2-2y^2=1$ con respecto a $y$ para obtener el gradiente. Obtenemos $y^2=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}\implies y=\pm\sqrt{\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}}$ .

Tomamos el positivo para la demostración
$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}x(\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2})^{-\frac{1}{2}}=\frac{x}{2\sqrt{\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}}}$

$\implies(1-2m^2)x^2=-2m^2$

Como la tangente toca la curva, podemos hacer $x^2-2(mx+2)^2=1$ obtenemos $(1-2m^2)x^2=9+8mx$

$\implies(1-2m^2)x^2=-2m^2$ y $(1-2m^2)x^2=9+8mx$ son dos ecuaciones con dos incógnitas, entonces deberíamos ser capaces de encontrar los valores de $m$ pero no he encontrado ninguna manera fácil de resolver esas 2 ecuaciones simultáneas. ¿Hay algún método más fácil?

Intenté resolver $9+8mx=-2m^2$ ¿pero seguimos teniendo dos incógnitas en una ecuación?

Además, si no utilizamos esas dos ecuaciones simultáneas, ¿podemos resolver esta pregunta con un método diferente?

Intento resolver SIN diferenciación implícita.

Muchas gracias por la ayuda.

Answer 1

Una forma más sencilla:

Ponga $y=mx+2$ en la ecuación $x^2-2y^2=1$ . Entonces se llega a una ecuación cuadrática de $x$ . De lo que obtenemos dos valores de $x$ . Como la recta es tangente a la hipérbola dada, no puede intersecarse en dos puntos diferentes. Por lo tanto, la ecuación cuadrática debe dar dos valores idénticos de $x$ .

Para ello, el discriminante put es igual a $0$ .

La ecuación cuadrática se convierte en , $x^2-2(mx+2)^2=1$ . Poniendo discriminante igual a $0$ obtenemos, $$64m^2+36(1-2m^2)=0\implies m=\pm \frac{3}{\sqrt 2}$$

Answer 2

Sea $(a,b)$ sea un punto de tangencia. Tenemos $2x-4y\frac{dy}{dx}=0$ por lo que la pendiente de la recta tangente en $(a,b)$ (si $b\ne 0$ ) es $\frac{a}{2b}$ .

La recta tangente tiene ecuación $y-b=(x-a)(a/2b)$ . Simplificando , y comparando con $y=mx+2$ encontramos que $b-a^2/(2b)=2$ . De ello se deduce que $2b^2-a^2=4b$ . Desde $a^2-2b^2=1$ concluimos que $b=-1/4$ . El resto es rutina.

Observación: Obsérvese que la recta tangente se encuentra en un punto de la mitad "inferior" de la hipérbola. Así que tomar la raíz cuadrada positiva resulta no ser útil.

Answer 3

Usted tiene $$(1-2m^2)x^2=-2m^2\\(1-2m^2)x^2=9+8mx\\-2m^2=9+8mx\\x=\frac{-2m^2-9}{8m}\\x^2=\frac{-2m^2}{1-2m^2}\\\frac{4m^4+36m^2+81}{64m^2}=\frac{-2m^2}{1-2m^2}$$ Ahora puedes utilizar la ecuación cuadrática en $m^2$

Answer 4

Sea la recta dada tangente a la curva en el punto $(x_0, y_0).$ Entonces tenemos $$y_0 = m x_0 + 2, \\ x_0^2 = 1 + 2y_0^2.$$ Utilizando la primera ecuación en la segunda, tenemos $$x_0^2 = 1 + 2 (m x_0^2 + 4 m x_0 + 4),$$ que es $$m = \frac {x_0^2 - 9} {2 x_0^2 + 8 x_0}.$$ También sabemos por la segunda ecuación que $$y' = \frac{x} {\sqrt{2x^2-2}}.$$ Por lo tanto, $$m = \frac{x_0} {\sqrt{2x_0^2-2}}.$$ Resolución de la ecuación $$\frac{x_0} {\sqrt{2x_0^2-2}} = \frac {x_0^2 - 9} {2 x_0^2 + 8 x_0},$$ obtenemos $x_0 = -3.44122\cdots$ y $m = -.73899\cdots$ .