Como usted probablemente sabe, la clásica prueba de la no-vacío del espectro de un elemento $x$ en general álgebra de Banach sobre $\mathbb{C}$ puede ser demostrado con bastante facilidad utilizando el teorema de Liouville en el análisis complejo: cada acotado, toda la función de $\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ es constante.
Como estos dos teoremas se parecen estrechamente relacionados y son sin duda fuerte y no trivial (por ejemplo, dos de ellos fácilmente implica el teorema fundamental del álgebra), me pregunto si también es posible deducir del teorema de Liouville de la no-vacuidad de los espectros de los elementos en el complejo de álgebras de Banach. Supongo que uno quisiera para aplicar la Gelfand-teorema de Mazur (que es un simple corolario de la anterior no vacío) para el álgebra de Banach de acotado, toda funciones en $\mathbb{C}$ pero mostrando que esta es una división álgebra es básicamente el mismo como muestra de que es igual a $\mathbb{C}$ a empezar.
