Mi impresión es que una "teoría de homotopía" es más que la categoría de homotopía: es una $(\infty, 1)$ -categoría. El documento que describe introduce un modelo para $(\infty, 1)$ -categorías (espacios completos de Segal); la más popular hoy en día parece ser las "cuasi-categorías" utilizadas por Lurie y Joyal. Un lema es que las categorías modelo son presentaciones para "teorías de homotopía" o $(\infty, 1)$ -categorías. Para obtener una $(\infty, 1)$ -categoría de una categoría modelo, debe localizar en las equivalencias débiles, pero en el sentido categórico superior. Alternativamente, si se tiene una simplicial categoría modelo (al menos, una razonablemente bonita, por ejemplo, una combinatoria), entonces se puede describir la teoría de homotopía asociada como una simplicial categoría (recordemos que las categorías enriquecidas de forma simplificada son otro modelo de $(\infty, 1)$ -) tomando simplemente los objetos cofibrantes-fibrantes con la estructura simplicial dada.
Hay mucha más información en estas categorías superiores que en sus categorías de homotopía. Por ejemplo, si se toma la categoría de homotopía de un "estable" $(\infty, 1)$ -se obtiene una categoría triangulada; un ejemplo clásico es la categoría derivada, o la categoría de homotopía de los espectros. Pero trabajar sólo con triángulos es, en muchos sentidos, poco natural (y causó dificultades cuando se utilizaron históricamente las categorías trianguladas), porque no son únicas. Sin embargo, si se piensa en ellos como cofibras, entonces son únicos (en el sentido categórico superior). La analogía es que el producto fibrado homotópico de espacios no corresponde a una propiedad universal estricta después de aplicar $\pi_0$ . La propiedad universal es en realidad una propiedad categórica superior, que no funciona en la categoría de homotopía sola.
Disponer de esta estructura adicional es especialmente importante si quieres hacer álgebra. Por ejemplo, si se trabaja en la categoría derivada (una categoría monoidal bajo el producto tensorial derivado) de módulos sobre algún anillo conmutativo $R$ entonces un objeto de álgebra aquí es algo así como un espacio H homotópico asociativo y conmutativo en topología: es un complejo de proyectivos $P$ junto con un mapa de álgebra $P \otimes_R P \to P$ que es homotópica asociativa y conmutativa y unital. Pero si se tiene un mapa de "módulos" (donde sólo se requiere que los módulos sean módulos hasta la homotopía) $f: M \to N$ No se puede hacer la cofibra de $f$ en un $P$ -módulo. Uno tiene el mismo problema cuando trabaja en la categoría de homotopía de espectros con espectros de anillos. Creo (espero que alguien con más conocimientos intervenga), que esto fue históricamente una de las principales motivaciones para las categorías monoidales simétricas de espectros como $S$ -y espectros simétricos/ortogonales (y antes de eso, para varios tipos de espectros anulares estructurados).
(Tenga en cuenta que existen categorías de modelos de espectros. Véase, por ejemplo este documento .)
