El menor número entero divisible por todos hasta $n$

Question

¿Cuál es el menor número entero positivo que es divisible por todos los enteros $1, 2, \dots, n$ ? ¿Existe una forma sencilla de representar la respuesta? Llámalo $f(n)$ aquí.

Es evidente que el factorial ( $n!$ ) satisface la condición de divisibilidad. Pero una vez que se llega a $f(4)$ (que es $12$ ), factorial ( $24$ ) es demasiado grande, porque incluye como factores tanto $4$ y $2$ que son redundantes.

Multiplicar todos los números primos hasta $n$ te da otra estimación, que esta vez es demasiado baja, porque tienes que incluir los primos varias veces cuando se repiten en la factorización de las entradas.

Así que la respuesta está entre el factorial y el producto de los primos. ¿Hay una respuesta sencilla?

Answer 1

Dado $n$ y dado un número primo $p$ hay un número entero no negativo $r=r(p)$ tal que $p^r\le n\lt p^{r+1}$ . El número que buscas es el producto de todos los números $p^r$ sobre todos los primos $p$ .

Se sabe que es asintótica a $e^n$ pero esto no es tan fácil de demostrar.

Answer 2

Para más información, consulte http://oeis.org/A003418 y las referencias que allí se dan.

Answer 3

Supongo que haré de mis comentarios una respuesta...

Es el múltiplo menos común de $\{1,\dots,n\}$ Es decir, $\mathrm{lcm}(1,2,\dots,n)$

Dejemos que $p_1,\dots,p_\ell$ sean los primos menores o iguales a $n$ y $k_i$ sea el mayor número entero tal que $p_i^{k_i}<n$ entonces $\mathrm{lcm}(1,2,\dots,n)=p_1^{k_1}\cdots p_\ell^{k_\ell}$ .

Answer 4

La respuesta es

$$f(n) = \operatorname{lcm}(1,2,3,...,n) = \prod\limits_{k=1}^{m-1}p_{k}^\left \lfloor \log_{p_{k}}(n) \right \rfloor$$

donde $p_m$ es el primer primo con $p_{m} > n$

En realidad, esto está relacionado con una de las funciones de Chebyshev $\psi(x)$ ser

$$f(n)=e^{\psi(x)}$$

Existe una fórmula muy conocida que da explícitamente $\psi(x)$ (con una pequeña diferencia técnica y no muy importante que relaciona los valores de los saltos).

$$\psi_{0}(x)=x-\sum_\rho\frac{x^\rho}{\rho} - \log(2\pi) -\log(1-x^{-2})/2$$

donde la suma va sobre todos los ceros de Función zeta de Riemann

Así que una simple pregunta que va muy profunda inmediatamente: 1 millón de dólares de profundidad. Es extraño que todavía sepamos tan poco.

Answer 5

Sí: $\text{lcm}(1,2,\ldots,n)$ .