El mapa liso con jacobiano sobreyectivo es abierto

Question

Me gustaría demostrar que si $U\subset R^n$ está abierto, $f:U\to R^m$ es suave, y $J_f(x)$ es suryente (de rango completo) para cada $x\in U$ entonces $f(U)$ está abierto.

Mis pensamientos hasta ahora:

Para cualquier $f(x)\in f(U)$ , el teorema de Taylor proporciona $\varepsilon>0$ para que siempre que $\|z\|<\varepsilon$ , $f(x+z)=f(x)+J_f(x)z+O(\|z\|^2)$ . Elija $\delta>0$ para que siempre que $r\in R^m$ y $\|r\|<\delta$ hay un $z\in R^n$ para que $r=J_f(x)z$ , $\|z\|<\varepsilon$ y $x+z\in U$ .

Elija cualquier $r\in R^m$ para que $\|r\|<\delta$ . Si podemos encontrar $z$ para que $f(x+z)-f(x)=r$ habremos demostrado que $f(x)$ es un punto interior de $f(U)$ .

De la elección de $\delta$ podemos elegir $z\in R^n$ para que $\|z\|<\varepsilon$ y $x+z\in U$ y por lo tanto $f(x+z)=f(x)+J_f(x)z+O(\|z\|^2)$ En otras palabras $f(x+z)-f(x)=r+O(\|z\|^2)$ .

No sé qué hacer con el $O(\|z\|^2)$ términos y agradecería que algunos ojos más revisaran mi trabajo hasta ahora. De todos modos, sospecho que hay algo mucho más fácil. Las búsquedas en Internet me han llevado a discusiones sobre los colectores, pero aún no los he estudiado. Esta es mi primera pregunta, así que me disculpo por las expectativas que estoy rompiendo.

Answer 1

Si $J_f(z_0)$ tiene un rango máximo para $z_0\in U$ entonces podemos encontrar las coordenadas $(x_1,\ldots, x_m, y_1,\ldots, y_{n-m})=(x,y)$ tal que el menor de $J_f(x,y)$ formado por el primer $m$ es no evanescente para $(x,y)=z$ en un barrio de $z_0$ .

Ahora, considere el mapa $v(x,y)=(f(x,y), y)$ , $v:U\to\mathbb{R}^n$ . La matriz jacobiana es $$\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y}\\0 & I_{n-m}\end{pmatrix}$$ y observe que su determinante es no evanescente para $(x,y)$ en la misma vecindad de $z_0$ . Por lo tanto, es invertible con inversa suave; escribamos $v^{-1}(x,y)=(a(x,y), b(x,y))$ y calcular $$(x,y)=v(v^{-1}(x,y))=(f(a(x,y), b(x,y)), b(x,y))$$ lo que significa $b(x,y)=y$ y $f(a(x,y),y)=x$ . Así que $f\circ v^{-1} (x,y)=x$ , para $(x,y)$ en la vecindad dada de $z_0$ .

Ahora, el mapa $f\circ v^{-1}$ es claramente abierto, ya que es una proyección; el mapa $v$ es continuamente invertible, por lo tanto abierta. Por lo tanto, el mapa $f=f\circ v^{-1}\circ v$ está abierto en una vecindad de $z_0$ .