$X,Y$ y $Z$ son independientes distribuidas uniformemente en $[0,1]$
¿Cómo es la variable aleatoria $(XY)^Z$ distribuido?
Yo tenía la idea de logaritmo esto y uso la integral de convolución para la suma, pero no estoy seguro de que es posible.
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Did
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Sugerencias:
La variable aleatoria $X$ es uniforme en $(0,1)$ si y sólo si $-\log X$ es exponencial con parámetro de $1$.
Si $U$ $V$ son independientes y exponencial con parámetro de $1$, $U+V$ es de gamma distribuidas $(2,1)$, es decir, con la densidad de $w\mapsto w\mathrm e^{-w}\mathbf 1_{w\gt0}$.
Si $W$ es de gamma distribuidas $(2,1)$ $T$ es uniforme en $(0,1)$ e independiente de $W$, $WU$ es exponencial con parámetro de $1$.
Conclusión:
- Si $X$, $Y$ y $Z$ son independientes y uniforme en $(0,1)$, $(XY)^Z$ es uniforme en $(0,1)$.
Fabian
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Dada la simplicidad del resultado debe ser una buena manera corta para obtenerlo. Sin embargo, no encontré uno para presentar el cálculo largo y complicado.
La distribución de la variable aleatoria $W=(XY)^Z$ está dada por: $$\begin{align}P(w\geq W) &= \int_0^1\!dx\int_0^1\!dy\int_0^1\!dz\, \theta(w-(xy)^z)\\ &= \int_0^1\!dx\int_0^1\!dy \max\{1-\log_{xy} w,0\}\\ &=\int_0^1\!d\eta\int_\eta^1\!\frac{dx}{x}\max\{1-\log_{\eta} w,0\} \\ &=-\int_0^w\!d\eta \log \eta (1-\log_{\eta} w)\\ &=w. \end {Alinee el} $$ $\eta=xy$.
Así la variable $W$ se distribuye también uniformemente (entre 0 y 1).
cewebugil
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Utilizando la definición de convergencia débil, es muy fácil. Primero, para cualquier entero positivo k > = 0, E {W ^ k} = 1 /(k+1) = EU ^ k. por lo tanto, para cualquier polinomio f (x), tenemos Ef(W)=Ef(U). Para cualquier función continua y acotada g(.), podemos encontrar una función polinómica f(.) tal que f puede aproximar g uniformemente por el teorema de Weierstrass. Así, Eg(W)=Eg(U). Tan W ~ U (0, 1).
