Demuestre que para $n$ números distintos se cumple lo siguiente

Question

Demuestre que para todo $n\in\mathbb{N}$ existe $a_i\in\mathbb{Z}, i=1,2,\dots,n$ números distintos para que: $$\sum_{i=1}^{n}a_i^2=\sum_{i=1}^{n}a_i^3$$

El uso de la inducción normal no me aportará nada, así que tal vez el uso de un paso de inducción estaría bien, como si se mantiene para n entonces también se mantendrá para n+2, entonces sólo tenemos que demostrar que existen dos números para que $a^2+b^2=a^3+b^3$ .

Answer 1

La afirmación es cierta. Si tienes dos soluciones disjuntas, la unión de las dos también es una solución. Si tiene una solución que no utiliza $0$ o $1$ , puedes crear nuevas soluciones con uno o dos números más añadiéndolos. Por lo tanto, tenemos una prueba si podemos demostrar que hay soluciones arbitrariamente grandes para $n=3$ .

Para cualquier positivo $k$ podemos dejar que $$a_3=-k(k+2)\\ a_2=-k(k+1)(k+2)/2+1\\ a_1=k(k+1)(k+2)/2+1$$ y la ecuación se satisface. Las primeras soluciones son $$\begin {array} {r|r|r|r}k&a_3&a_2&a_1\\ \hline 1&-3&-2&4\\2&-8&-11&13\\3&-15&-29&31\\4&-24&-59&61\\5&-35&-104&106\\6&-48&-167&169\\7&-63&-251&253\\8&-80&-359&361\\9&-99&-494&496\\10&-120&-659&661 \end {array}$$ Hay otras soluciones de tres términos, pero esta es una familia bien organizada.