Evaluar la integral $\int_{-2}^{2} \frac{1+x^2}{1+2^x}dx$

Question

Mi amigo me pidió ot evaluar la integral: $$\int_{-2}^{2} \frac{1+x^2}{1+2^x}dx$ $ y me dio la pista: sustituto $u = -x$. Y así lo hice, pero parece que no puedo conseguir ninguna más. ¿Podría alguien por favor proporcionar algunos consejos y ayuda en cuanto a cómo evaluar esta integral desafiante?

Edición: Otro Consejo que me dio fue la división integral en 2 integrales, uno de $-2$ $0$ y el otro de $0$ $2$ y otra vez, he probado esto y me han pegado.

Answer 1

Sugerencia:

$$\frac1{1+2^x} + \frac1{1+2^{-x}} = 1$$

Answer 2

La integral de $f(x)$ $-2$ $2$ es siempre igual a la integral de $f(-x)$ $-2$ $2$, por lo que la integral es igual a $$\int_{-2}^2 {1 + x^2 \over 1 + 2^{-x}}\,dx$ $ multiplicando el numerador y el denominador por $2^x$ $$= \int_{-2}^2 {2^x (1 + x^2) \over 1 + 2^x}\,dx$ $ da Agregar esto a la expresión original, dos veces la integral es igual a $$\int_{-2}^2 {1 + x^2 \over 1 + 2^x}\,dx + \int_{-2}^2 {2^x (1 + x^2) \over 1 + 2^x}\,dx$ $ $$= \int_{-2}^2 {(1 + 2^x)(1 + x^2) \over 1 + 2^x}\,dx$$ $$= \int_{-2}^2 ({1 + x^2})\,dx$ $ $$= {28\over 3}$ $ por lo tanto la integral original es la mitad, o ${\displaystyle {14 \over 3}}$.

Answer 3

Que %#% $ de #% divide en dos integrales $$I=\int_{-2}^{2} \frac{1+x^2}{1+2^x}dx$ $ y % $ $$I_1=\int_{-2}^{0} \frac{1+x^2}{1+2^x}dx$$$I_2=\int_{0}^{2} \frac{1+x^2}{1+2^x}dx$usar la sustitución $I_1$. Continuar aplicando la sugerencia dada por Ron Gordon y $u=-x$.

Answer 4

Rendimientos de sustitución $$\int_{2}^{-2}-\frac{1+x^2}{1+2^{-x}},$$ which we can add to the original integral to get $$\int_{-2}^{2} \frac{1+x^2}{1+2^x}dx + \int_{2}^{-2}-\frac{1+x^2}{1+2^{-x}} = \int_{-2}^{2}\frac{1+x^2}{1+2^x} + \frac{1+x^2}{1+2^{-x}} = \int_{-2}^{2}1+x^2 = \frac{28}{3},$$ so our original integral is half that, which is $ \displaystyle{\frac{14}{3}}$.