Intento calcular la suma de la serie
$$\sum_{n=0}^\infty \exp(-n^3)$$
¿Puede expresarse en términos de funciones matemáticas conocidas?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
No, tal expresión no se conoce en el mundo de las funciones especiales de uso común. Su análogo más cercano es la suma $\sum\nolimits_{n=0}^{\infty}e^{-n^2}$ que ya es bastante no trivial: se expresa en términos de la elíptica funciones theta .
Una forma de convencerse de que la suma es "demasiado exótica" es considerar una generalización $$f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}z^{n^3}.$$ Esta serie converge dentro del círculo unitario $|z|=1$ pero el propio círculo es un límite natural de $f(z)$ - es decir, un conjunto denso de singularidades a través del cual la función no puede ser continuada analíticamente. Esto debe contrastarse con las funciones especiales "normales" que suelen tener un número finito o contable de puntos singulares aislados en el plano complejo.
flojdek
Puntos
12
Supongo que la respuesta ("es difícil") ya está dada.
El cálculo numérico da
$\sum_{n=0}^\infty{\mathrm e}^{-n^3}=1.368\dots$
Quiero añadir que una aproximación natural de primer orden dada por el Fórmula de Euler-Maclaurin es
$$\sum_{n=0}^\infty{\mathrm e}^{-n^a}\approx\frac{1}{2}+\Gamma\left(1+\frac{1}{a}\right)\approx 1.5-\frac{\gamma}{a},$$
donde $\gamma=0.577\dots$ es el Constante de Euler-Mascheroni .
La aproximación es mejor en torno a $a\approx 4.5$ . Para usted con $a=3$ encontramos
$\frac{1}{2}+\Gamma\left(1+\frac{1}{3}\right)=1.392\dots$
