Supongamos que $E$ y $B$ son subconjuntos de un espacio topológico $X$. Por definición, el conjunto $E$ es denso en $B si el conjunto $E\cap B$ es denso en el subespacio $B$ si $\operatorname{cl}_B (E\cap B)=B$. Utilizando la igualdad $\operatorname{cl}_B (E\cap B)=\overline{E\cap B}\cap B$ y observaciones elementales, obtenemos las equivalencias $$\operatorname{cl}_B (E\cap B)=B\ \Leftrightarrow\ \overline{E\cap B}\cap B=B\ \Leftrightarrow\ \ B\subseteq \overline{E\cap B}\cap B\ \Leftrightarrow\ B\subseteq \overline{E\cap B}\ \Leftrightarrow\ B\subseteq \bar{E}.$$ Por lo tanto, $E$ es denso en $B$ si y solo si $B\subseteq \bar{E}$.
Por definición, $E$ es nunca denso en $X$ si no hay ningún subconjunto abierto no vacío (equivalentemente, vecindario) de $X$ en el que $E$ sea denso. Utilizando las observaciones anteriores, $E$ es nunca denso en $X$ si y solo si $\bar{E}$ no contiene ningún subconjunto abierto no vacío de $X$ si y solo si $\operatorname{int} \bar{E} = \emptyset$.
De hecho, en el contexto métrico, $E$ es nunca denso si no hay una bola en la que $E$ sea denso, ya que cualquier subconjunto abierto no vacío de un espacio métrico contiene una bola.
En cualquier espacio métrico, la condición de ser denso en cada bola es equivalente a ser denso en el espacio, ya que cada punto de un espacio métrico está contenido en una bola. Por lo tanto, cualquier subconjunto denso de $\mathbb{R}$, por ejemplo $\mathbb{R}$, $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ o $\mathbb{Q}$, es un ejemplo para tu primera pregunta. Con respecto a tu segunda pregunta, la bola $(-1,1)\subseteq \mathbb{R}$ es denso en sí mismo pero no es denso en ninguna bola que no esté contenida en $(-1,1)$.
"$E$ es denso en una bola" no significa "$\bar{E}$ es una bola". Por ejemplo, $(-1,1)\cup\{2\}$ es denso en la bola $(-1,1)$ pero $\bar{E} = [-1,1]\cup\{2\}$ no es una bola. Sin embargo, "$\bar{E}$ es una bola" implica que "$E$ es denso en una bola": si $\bar{E}$ es una bola, entonces $E$ es denso en la bola $\bar{E}$.
"$E$ es denso en una bola" significa "$\bar{E}$ contiene una bola", ya que según nuestras observaciones anteriores, $E$ es denso en un conjunto $B$ si $B\subseteq\bar{E}$.
"$E$ es denso en una bola" no significa "$\bar{E}$ está contenido en una bola". Por ejemplo, $\mathbb{R}$ es denso en la bola $(-1,1)$ pero ninguna bola contiene su cierre. Por otro lado, $\bar{\emptyset}=\emptyset$ está contenido en cualquier bola pero el conjunto vacío no es denso en ninguna bola.
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Para la parte final: significa que el cierre (relativo) de $E \cap B$ (aquí $B$ es una bola) dentro de $B$ es todo $B$.
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Es posible que desees leer sobre el Conjunto de Cantor como un interesante ejemplo no trivial.
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Después de darte un ejemplo sobre el que no estás preguntando, piensa en $\mathbb{Q}$ como un conjunto denso en cualquier bola de $\mathbb{R}$ y $\mathbb{Q} \cap \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} [2n,2n+1]$ como un conjunto denso en algunas bolas pero no en otras.
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@Dylan: +1. Ahora tiene sentido. ¿Podrías darme una referencia para tu afirmación? Ya que no lo veo en el libro de topología básica que estudié.
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@Theo: Hmm, entonces se puede controlar el número de bolas en las que el conjunto es denso al modificar ligeramente tu ejemplo ${\mathbb Q}\cap\bigcup_{n\in{\mathbb Z}}[2n,2n+1]$.
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Esto significa que $\overline{E}$ contiene una bola. De manera equivalente, $E$ es en ninguna parte densa si y solo si el interior de $\overline{E}$ está vacío.
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Sí, esencialmente puedes elegir libremente los intervalos en los que tu conjunto es denso simplemente tomando los racionales dentro de esos intervalos y descartando los demás. Tal vez esta modificación también sea reveladora: $\left(\mathbb{Q} \cap \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} [1000n, 1000n + 1] \right) \cup \frac{1}{100000000} \cdot \mathbb{Z}$. ¿Puedes ver en qué intervalos este conjunto es denso?
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@Jack: No, no puedes controlar el número de bolas en las cuales el conjunto es denso. Si $E$ es denso en alguna bola $B$, entonces $E$ automáticamente es denso en cada bola que es un subconjunto de $B$, y hay infinitamente muchas de esas bolas.
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@Jack,@Theo: Es potencialmente confuso usar 'cualquier' cuando lo que se quiere decir es 'cada' o 'cada uno'. '¿Cuál es un ejemplo de un conjunto $E$ que es denso en cada bola?' y '$\mathbb{Q}$ es denso en cada bola de $\mathbb{R}$' son menos propensos a ser malinterpretados o hacer que el lector dude.
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@Brian: gracias... En principio lo sé, pero sigo cometiendo este error.