Inversa de una definida positiva

Question

Sea K una matriz simétrica no singular, demuestre que si K es una matriz positiva definida también lo es $K^{-1}$ .

Mi intento:

Tengo eso $K = K^T$ así que $x^TKx = x^TK^Tx = (xK)^Tx = (xIK)^Tx$ y entonces no sé qué hacer después.

Answer 1

Si $K$ es positiva definida entonces $K$ es invertible, por lo que se define $y = K x$ . Entonces $y^T K^{-1} y = x^T K^{T} K^{-1} K x = x^T K x >0$ por lo que es positiva definida.

Answer 2

Esta es una manera: $K$ es positiva definida si y sólo si todos sus valores propios son positivos. ¿Qué sabes de los valores propios de $K^{-1}$ ?

Answer 3

K es definida positiva por lo que todos sus valores propios son positivos. Los valores propios de $K^{-1}$ son inversos de los valores propios de K, es decir $\lambda_i (K^{-1}) = \frac{1}{\lambda_i (K)}$ lo que implica que es una matriz definida positiva.

Answer 4

Inspirado en el respuesta de kjetil b halvorsen

Para recapitular, matriz $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ es HPD (hermitiana positiva definida), si $\forall x \in \mathbb{C}^n, x \neq 0 : x^*Ax > 0$ .

Las matrices HPD tienen rango completo, por lo que son invertibles y $A^{-1}$ existe. También las matrices de rango completo representan una biyección, por lo tanto $\forall x \in \mathbb{R}^n \enspace \exists y \in \mathbb{R}^n : x = Ay$ .

Queremos saber si $A^{-1}$ es también HPD, es decir, nuestro objetivo es $\forall x \in \mathbb{C}^n, x \neq 0 : x^*A^{-1}x > 0$ .

Sea $x \in \mathbb{C}^n, x \neq 0$ . Porque $A$ es una biyección, existe $y \in \mathbb{C}^n$ tal que $x=Ay$ . Por lo tanto, podemos escribir

$$x^*A^{-1}x = (Ay)^*A^{-1}(Ay) = y^*A^*A^{-1}Ay = y^*A^*y = y^*Ay > 0,$$

que es lo que queríamos probar.