¿$(-2)^{\sqrt{2}}$ Es un número real?

Question

¿$(-2)^{\sqrt{2}}$ Es un número real?

Aclaración: Hay alguna razón por qué $(-2)^{\sqrt{2}}$ no es un número verdadero porque no tiene sentido por qué no debería ser un número real.

Matemáticamente podemos definir el valor de $\sqrt{2}$ en términos de un límite de racionales. Pero el problema es que algunas secuencias tienen valores que no están definido para $(-2)^q$ donde es un racional, como por ejemplo $q$ $\dfrac{3}{2}$. ¿Es esta la razón por qué nosotros no podemos definir o hay alguna otra razón?

Answer 1

Voy a responder a la cuestión general de cómo hacemos el sentido de tales expresiones:

El valor de tales números se determina en una de dos maneras: por las ecuaciones funcionales o por el poder de la serie. Un funcional de la ecuación es la fórmula que relaciona el valor de una función en dos puntos diferentes. Reglas como $a^{b+c}=a^ba^c$ son ejemplos de funcional básica de ecuaciones que puede ser reescrita como $f(a,b+c)=f(a,b)f(a,c)$, si se prefiere. Un ejemplo de una función definida de esta manera es $\Gamma(t):=\int_0^\infty x^{t-1}e^{-x}dx$. Después de aplicar la integración por partes, podemos ver que $t\Gamma(t)=\Gamma(t+1)$ mantiene, y podemos utilizar esta opción para definir $\Gamma(t)$ para cualquier número complejo que no es de la forma $-n$ $n\in\mathbb{N}$ (incluyendo $0$). Este ligeramente extraña forma de expresar los puntos indefinidos se justifica por el hecho de que en $-n$, $\Gamma(t)$ tiene un simple poste con el residuo $\frac{(-1)^n}{n!}$

Estos valores también se puede determinar mediante tratando de hacer un de potencia de la serie tienen sentido cuando los valores están conectados en el mismo (por ejemplo, podríamos decir $e^{i\pi}=-1$ a causa de lo que sucede cuando conectamos $i\pi$ en el poder de la serie para $e^x$). Un ejemplo de una función definida de esta manera es la matriz de la función $f(A)=e^A$. Se puede demostrar que el poder de la serie de la expresión de $e^x$ $0$ converge cuando se interpreta como una declaración acerca de las matrices. Esta función comparte muchas de las propiedades de la función compleja $f(z)=e^z$.

La página de la wikipedia sobre la continuación Analítica tiene más información acerca de la extensión (complejo diferenciable) funciones.

Nos gustan estas maneras de hacer las cosas, ya que normalmente se asegurará de que las propiedades que como las funciones que han de seguir celebrando. Por ejemplo, que se extiende a través de la ecuación funcional garantiza que la función extendida también satisface la ecuación funcional, mientras que la potencia de la serie son útiles para la preservación de la analítica de las propiedades de la función.

Para lidiar con la pregunta en la mano, su expresión se convierte en satisfacer: $$(-2)^\sqrt{2}=2^{\sqrt{2}}(\cos((2k+1)\pi\sqrt{2}) + i\sin((2k+1)\pi\sqrt{2}))$$ que surge a partir de la reescritura de $a^x=\exp(x\log(a))$ y el uso de la energía de la serie de $\exp(z)$. Este es un multivalor expresión, pero para el principal valor de $k=0$ obtenemos $(-2)^\sqrt{2}=2^{\sqrt{2}}(\cos(\pi\sqrt{2}) + i\sin(\pi\sqrt{2}))$ que no es un número real debido a $\sin(\sqrt{2}\pi)\neq 0$.

Answer 2

Por definición, $(-2)^\sqrt{2} = \exp(\sqrt{2} \log(-2))$. Esto es multivalor porque $\log$ es multivalor: tenemos $\log(-2) = \log(2) + (1 + 2 n) \pi i$ % arbitrario entero $n$. Así $$ (-2) ^ {\sqrt {2}} = \exp(\sqrt{2} (\log(2) + (1+2n) \pi i)) = 2 ^ {\sqrt {2}} \exp((1+2n) \sqrt{2} \pi i) $$ en orden para que esto sea real, necesitamos $ (1+2 n) \sqrt{2}$ a ser un número entero, y que no es el caso porque $\sqrt{2}$ es irracional.

Answer 3

Jajaja Hay un número infinito numerable de valores posibles de esta expresión. Ninguno de ellos son real. Son $$ 2 ^ {\sqrt {2}} (\cos (2 k + 1) \pi\sqrt {2} + i\sin(2k+1)\pi\sqrt{2}) $$ el valor principal ($k=0$) es $2^{\sqrt{2}}(\cos\pi\sqrt{2} + i\sin\pi\sqrt{2})$.

Answer 4

$$\left(-2\right)^{\sqrt{2}}=\left(\left|-2\right|e^{\arg(-2)i}\right)^{\sqrt{2}}=\left(2e^{\pi i}\right)^{\sqrt{2}}=2^{\sqrt{2}}e^{\pi\sqrt{2}i}=2^{\sqrt{2}}e^{\left(2\pi k+\pi\sqrt{2}\right)i}$$

$k\in\mathbb{Z}$

Answer 5

"¿Hay alguna razón por la $(-2)^{\sqrt 2}$ no es un número real, porque no tiene sentido ¿por qué no debería ser."

Bien, no tener un razonable interpretación es una buena razón para algo que no sea un número real.

1) $b^n$; $n \in \mathbb N; n \ge 2$ se define como $\prod_{i=1}^n b$ (o "b multiplicado por sí mismo n veces") está bien definido y "tiene sentido".

2) $b^n$; $n \le 1$ no tienen sentido porque no se puede varias de un número por sí mismo, 0 o un número negativo de veces. Ni siquiera se puede multiplicar un número por sí mismo 1 hora. Pero la multiplicación es invertable y es aditivo en la naturaleza por lo que podemos ampliar la definición para incluir a $b^0 = 1$ $b^{|n|} = (1/b)^{|n|} = (1/b)^{|n|}$ (así Como de $b^1 = b$). Así que ahora sí tiene sentido.

3) $b^r$; $r \in \mathbb Q$ no tiene sentido porque no se puede múltiple o dividir un número un número fraccionario de veces. Pero, como podemos demostrar que para cualquier valor no negativo número real $b$ e integer $m \ne 0$ podemos encontrar una única no-número real negativo, c, donde a $c^m = b$. Llamamos a esta $c =\sqrt[m]{b}$ pero como $(b^a)^m = b^{am}$. Si llamamos a esta $c =\sqrt[m]{b} = b^{\frac 1 m}$, tendríamos consistente $(b^{\frac 1 m})^m = b^1 = b$ y podemos definir $b^{n/m}$ $\sqrt[m]{b}^n$ !!!!SI!!!! b es no-negativa O m es impar. El no es real ni siquiera la raíz de un número negativo. Por lo $(-2)^{3/2}$ no es un número real! Esta definición es consistente y, ahora tiene sentido. (Hemos de comprobar esto es verdaderamente consistente que no voy a hacer aquí.)

4) En la secundaria que tienden a agitar los brazos en los números reales. Son como los números racionales ", pero con los agujeros llenos". Por lo $b^x$ donde x es el límite de alguna secuencia de $\{q_i\} \subset \mathbb Q$ puede ser definida como el límite de {$b^{q_i}$}. (Bueno, un montón de verificación de necesidades a hacer que voy a omitir.) Pero si $b < 0$ esta secuencia no está definida para cualquier racionales, incluso con denominadores y no hay necesidad de converger a todos.

Por lo $(-2)^{\sqrt{2}}$ no es un número real y no hacer sentido de que se fueron.

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No quiero confundir a usted más? En la ducha me preguntaba que como para todos los $q \in \mathbb Q$ $q = \sup\{r \in \mathbb Q| r \le q;$ r en forma reducida tiene un denominador impar}, si usted podría haber modificado la definición de $b^q$ como el límite de {$b^{r_i}$} donde: $r_i$ son una secuencia de racionales con denominadores impares que convergen a $q$.

Si es así que tendríamos $(-|b|)^q = -|b|^q = -\sqrt[m]{|b|}^n$. Y podríamos definir $b^x$ como el límite de $b^{q_i}$ cuando la $q_i$ converge a x.

Podríamos hacer que? Esto significaría que el $b^{1/m}$ no necesita ser el mismo que $\sqrt[m] b$, pero podríamos hacer eso? Perdimos el análisis complejo, pero...

Entonces me di cuenta que podía, pero tendríamos ya no tienen el $b^x b^y = b^{x+y}$ regla.