En matemáticas, tomamos $\mathbb{R}^n$, donde $n$ es un número entero positivo fijo, para representar el producto cartesiano
$$ \overbrace{\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \cdots \times \mathbb{R}}^{n \ \text{times}} = \left\ {(x_1, x_2, \dots, x_n): x_1, x_2, \dots, x_n \in \mathbb{R} \right\}. $$
Mi pregunta: ¿$\mathbb{R}^0$, $\mathbb{R}^{1/3}$, o $\mathbb{R}^{-2}$ tiene significado alguno, matemáticamente?
En mi opinión personal, si $\Bbb{R}^{1/2}$ $\Bbb{R}^{-2}$ es que existe, de manera significativa, entonces podemos esperar que estos dos objetos satisface las siguientes propiedades:
Sin embargo, la cardinalidad de a $\Bbb{R}^2\times X$ es mayor o igual que la cardinalidad del continuo, a menos que $X$ está vacía. Pues yo creo que eso $\Bbb{R}^{-2}$ no existe.
El caso de $\Bbb{R}^{1/3}$ es más complicado. Sin embargo, como yo sé, no hay espacio topológico $X$ satisfacer ese $X\times X\cong \Bbb{R}$. Creo que se puede demostrar la inexistencia de (topológicas!) raíces cúbicas de $\Bbb{R}$ (es decir, un espacio de $X$ satisfacer $X^3\cong \Bbb{R}$) no existe.
Si se le cae el sugerido propiedad de $\Bbb{R}^{-2}$$\Bbb{R}^{1/3}$, entonces pueden existir. Pero no sé que puede tener el significado.
Voy a dar el esquema de la prueba de la inexistencia de "topológico de la raíz cuadrada" de la línea real (es decir, no es $X$ tal que $X^2\cong \Bbb{R}$ mantiene.)
En primer lugar, vamos a demostrar el siguiente lema:
Lema. Deje $X$ $Y$ ser una ruta conectada espacio con $|X|>1$. Si $(x,y)\in X\times Y$ $X\times Y-\{(x,y)\}$ es la ruta de acceso conectado.
La idea de la prueba de este lema es "dar un rodeo". Deje $(a,b)$ $(c,d)$ ser distintos puntos de $X\times Y -\{x,y\}$. Tome $e\in X-\{x\}$ y encontrar el camino de $\pi_1$$(a,b)$$(e,b)$, y encontrar el camino de $\pi_2$$(e,b)$$(e,d)$, y encontrar el camino de $\pi_3$$(e,d)$$(c,d)$. Se acuestan $\pi_1$, $\pi_2$ y $\pi_3$, entonces tenemos una ruta de acceso entre el$(a,b)$$(c,d)$.
Es fácil comprobar que si $X$ es la ruta de acceso conectados e $f:X\to Y$ es continuo, a continuación, $f(X)$ trayectoria-conectado. Vamos a suponer que $X\times X\cong \Bbb{R}$. Desde $X$ es una proyección de $\Bbb{R}$, $X$ es también la ruta de acceso conectado. Por el Lema 1, $\Bbb{R}-\{x\}$ es la ruta de acceso conectado pero sabemos que $\Bbb{R}-\{x\}$ está desconectado, una contradicción.
Mis dos centavos: en cierta medida tu pregunta no es tonta, y puede ser parcialmente contestadas.
Vamos a empezar imparcial: usted tiene una gran caja donde se ponen todos los espacios vectoriales $\mathbb R^n$ lineal y mapas entre ellos. Si usted piensa que hasta el isomorfismo es una categoría, la categoría de $\bf Vect$ de finito dimensionales real de espacios vectoriales (en functorial de los salones de la gente dice que es el esqueleto de la categoría de espacios vectoriales reales, pero no te preocupes por esto).
Ahora, observe que $\mathbb R^n\oplus \mathbb R^m = \mathbb R^{n+m}$$\mathbb R^n\otimes \mathbb R^m = \mathbb R^{nm}$, y cosas por el estilo de relaciones, de manera directa de la suma y la multiplicación "se comportan como" la suma y la multiplicación de números naturales.
En realidad esto no es tan tonta: iso (clases de) espacios vectoriales categorify números naturales.
Ahora, hay una maquinaria de alimentación con un conmutativa, cancellative monoid (como $\mathbb N$) y que devuelve un abelian grupo (como $\mathbb Z$): es el grupo de Grothendieck de la monoid. Básicamente, usted formalmente agregar inversos a aquellos elementos que no tienen uno, y definir una compatible grupo de operación de la ampliación de la edad monoid operación.
Ahora.
Lo que si yo era capaz de hacer "lo mismo" en el piso superior, "formalmente invertir" espacios vectoriales? En el final, "agrupación" la monoid $\mathbb N$ utiliza algún tipo de contigüidad $G\colon {\bf Mon\leftrightarrows Grp}\colon U$: es razonable esperar que esto se extiende (internaliza?) 2 contigüidad $$ \subrayado G\colon {\bf Mon(Cat) \leftrightarrows Grp(Cat)}\colon \subrayado U $$ el envío de una categoría monoidal (como, por ejemplo, la categoy de espacios vectoriales) en su 2-grupo de Grothendieck. Google, de hecho, da una referencia sobre algo como esto: una vieja Joya de papel llamado "Seguimiento Monoidal Categorías".
En principio, usted debería ser capaz de construir una nueva categoría (que puede tener realmente nada para compartir con la edad $\bf Vect$ con el que comenzó, pero que nos llame a $\overline{\bf Vect}$), que es un categórico grupo, es decir, una categoría monoidal "donde cada objeto $M$ tiene un inverso multiplicativo $\bar M$", de tal manera que $M\otimes \bar M\cong \bar M\otimes M\cong I$ si $I$ es la identidad de objeto ($\mathbb R^1$, o $\mathbb R^0$, en el caso de $\bf Vect$, según el caso de que usted considere el $\oplus$- o $\otimes$-monoidal estructura).
Ahora, he absolutamente ninguna pista acerca de la forma de su $\overline{\bf Vect}$, o cómo se comporta bajo "natural" de las construcciones, o si tiene algo de "bonita" de propiedades.
Ninguno, que yo sepa.
Usted podría estirar un poco las cosas y decir que $\mathbb{R}^{0}$ $0$- dimensional espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$. Sin embargo, criar algo a la tercera potencia debe significar un cubo de raíz en ALGÚN sentido - para hacer sentido con la definición de $\mathbb{R}^{3}$, necesitaríamos $\mathbb{R}^{1/3} \oplus \mathbb{R}^{1/3} \oplus \mathbb{R}^{1/3} = \mathbb{R}$, de alguna manera u otra. Pero yo no conozco a ninguna de las categorías en que tal declaración es verdadera - no en grupos, anillos, vectores espacios.... Del mismo modo, $\mathbb{R}^{-2}$ debe satisfacer $\mathbb{R}^{2} \oplus \mathbb{R}^{-2} = \mathbb{R}^{0} = \{0\}$. De nuevo, en el contexto de espacios vectoriales o de los grupos o de los anillos, que simplemente no tiene sentido.
Quiero decir, si usted realmente quiere empujar, se podría tal vez decir que $\mathbb{C}^{1/2} = \mathbb{R}$, porque como verdaderos espacios vectoriales, $\mathbb{C} \cong \mathbb{R} \oplus \mathbb{R}$. Pero yo no se lo aconsejo. Nunca he visto que la notación utilizada, y que en realidad no ayuda, por lo que....
Desde $\mathbb R^a\times\mathbb R^b\cong\mathbb R^{a+b}$, seguiría que $\mathbb R^a\times\mathbb R^0\cong\mathbb R^a$ y por lo tanto $\mathbb R^0\cong\{\varnothing\}$. Pero tengo que admitir que nunca vi esta notación se utiliza en cualquier lugar. En cuanto a $\mathbb R^{-n}$, tendríamos $\mathbb R^n\times$ $\times\mathbb R^{-n}\cong\mathbb R^0\cong\{\varnothing\}$ y además, $\underbrace{\mathbb R^{\frac1n}\times\mathbb R^{\frac1n}\times\ldots\times\mathbb R^{\frac1n}}_{n\text{ times}}\cong\mathbb R$. Pero, otra vez, soy consciente de tales abstracciones que aparecen en cualquier lugar en la literatura.
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