Convergencia de $\{nz^n\}_1^{\infty}.$

Question

Discutir completamente la convergencia y la convergencia uniforme de la secuencia de $\{nz^n\}_1^{\infty}.$

Si $|z|\geq 1$, $|nz^n|=n|z|^n\geq n$ diverge, entonces la secuencia de $nz^n$ también diverge.

Si $|z|<1$, se deben converger a $0$. Así que para cualquier $\varepsilon$, debemos encontrar a $N$ tal que $|nz^n|=n|z|^n<\varepsilon$, o en otras palabras $|z|^n<\dfrac{\varepsilon}{n}$ todos los $n\geq N$. Debe ser cierto desde el lado izquierdo converge rápidamente a $0$, pero, ¿cómo demostrar rigurosamente?

Finalmente, la secuencia no convergen uniformemente en el disco abierto $|z|<1$, porque si lo hiciera, para cualquier $\varepsilon$ debemos tener $N$ tal que $|z|^n<\dfrac{\varepsilon}{n}$ todos los $|z|<1$ y todos los $n\geq N$. Pero podemos optar $|z|$ lo suficientemente grande (lo suficientemente cerca como para $1$) para romper esta desigualdad.

Así que mi pregunta es: ¿cómo probar que para cualquier $a\in(-1,1)$ y cualquier $\epsilon>0$ existe $N$ tal que $a^n<\dfrac{\varepsilon}{n}$ todos los $n\geq N$.

Answer 1

Sugerencia: a partir De análisis real/cálculo usted puede recordar el resultado $$ \lim_{n\to\infty}\frac{n}{a^n}=0, $$ cuando la constante de $a>1$. Una función exponencial crece más rápido que una función de potencia o alguna frase hecha como la que se asocia a veces con este resultado.

Revisión constante $a>1$ y considerar los números de $z$ tal que $|z|<1/a$.

Nota: Usted también debe demostrar que la convergencia de la secuencia es uniforme en un disco cerrado $|z|\le r$ donde $r$ es una constante en el intervalo de ...

---

Recordatorio: Suponga $a>1$, lo $a=1+b$$b>0$. A continuación, desde el teorema del binomio se obtiene que $$ a^n=(1+b)^n=\sum_{k=0}^n{n\elegir k}b^k>{n\elegir 2}b^2. $$ Así $$ 0<\frac{n}{a^n}<\frac{n}{b^2 {n\elegir 2}}=\frac{2}{b^2(n-1)}\to0,\ \text {$n\to\infty.$}. $$

Answer 2

Una forma es mirar la relación de términos

$$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n} \right|= \frac{n+1}n |z|,$$

que va a $|z|$ $n\to \infty$. Finalmente $|\frac{a_{n+1}}{a_n}|$ es $<|z|+\epsilon<1$, desde donde continua multiplicación por un número $<1$ obtendrá los términos tan pequeños como:

$$a_{n+M} < a_nr^M,$$

donde $r = |z|+\epsilon <1$