Intuición para anillo opuesto, equivalencia de módulos de izquierda y derecho, la involución.

Question

Aquí es un extracto de lo que estoy leyendo.

Uno puede asimismo definir el bien $A$-módulos. Una manera conveniente dar una definición formal de derecho módulo es la siguiente.

En primer lugar, dado un anillo de $A$, se define el $A^{op}$, el opuesto del anillo, para ser el grupo abelian $(A, +)$ equipada con una enfrente de la multiplicación $a$, $b \mapsto a \cdot_{op} b := ba$.

Entonces, un derecho $A$-módulo es, por definición, lo mismo que a la izquierda $A^{op}$-módulo.

Observación. Un anti-involución en un ring $A$ es una de morfismos $A \to A$, $a \mapsto a^*$ de abelian grupos que$$(ab)^* = b^* a^*, \quad (a^*)^* = a, \quad (1_A)^* = 1_A, \quad a, b \in A.$$An anti-involution on $Un$ provides a ring isomorphism $\desbordado{\sim} {\,}^{op}$.

La transposición de matrices da un ejemplo de un no-trivial anti-involución en $\text{M}_n(k)$, no conmutativa anillo.

El mapa de identidad es un anti-involución en cualquier anillo conmutativo. Por lo tanto, tenemos $A^{op} \cong A$ para cualquier anillo conmutativo $A$ y, por tanto, las nociones de izquierda y derecha, $A$- módulos coinciden en este caso.

Esto es bastante denso, y por lo que me estoy preguntando si alguien puede ayudarme a desempacar las siguientes.

• ¿Qué es la intuición detrás de la definición de enfrente de los anillos, y para trabajar con ellos? ¿Alguna vez entran en la práctica?
• ¿Por qué es un derecho $A$-módulo de la misma cosa como una izquierda $A^{op}$-módulo?
• ¿Qué es la intuición detrás de la definición de enfrente de los anillos, y para trabajar con ellos? ¿Alguna vez entran en la práctica? Y por qué no aportan un anillo de isomorfismo $A \overset{\sim}{\to} A^{op}$?
• ¿Qué es la intuición detrás de $A^{op} \cong A$ por un anillo conmutativo $A$ y tener las nociones de izquierda y derecha, $A$- módulos coincidiendo?

Uf, lo siento por los grandes bloques de texto. Gracias!

Answer 1

¿Qué es la intuición detrás de la definición de enfrente de los anillos, y para trabajar con ellos? ¿Alguna vez entran en la práctica?

No está claro por qué uno tendría ninguna intuición uso de ellos. Se podría decir que es un muy simple "construcción" en el que hacer un nuevo anillo de un viejo, pero esa visión no es muy fructífera.

Hay un alto nivel, menos accesibles explicación. En la categoría de teoría, de hablar acerca de los objetos y las flechas entre ellas (además de algunos axiomas.) Usted podría haber adivinado ya que de hecho hay una noción de enfrente de la categoría, y eso es lo que sucede cuando usted toma una categoría y, a punto de todas las flechas en la dirección opuesta.

Hay muchas cosas que pueden ser expresadas como categorías, y entre esas cosas son anillos y conjuntos parcialmente ordenados (o totalmente de conjuntos ordenados , si prefiere).

Durante la visualización de un conjunto parcialmente ordenado como una categoría, el opuesto de la categoría es simplemente la inversa de orden parcial. El opuesto del anillo del anillo es justo lo contrario de la categoría de que el anillo de verse como una categoría.

Otro de dibujo de este paralelo entre el opuesto de pedidos y enfrente de los anillos, yo realmente no tiene más idea de lo que son. Realmente son más útiles como métodos de representación de la conveniencia.

El primer lugar que surgen de manera natural en un libro de texto de álgebra no conmutativa es, probablemente, mientras explicaba la Artin-teorema de Wedderburn. La manera en que yo recuerde, no importa lo que el programa de instalación se inicia con, finalmente, tendrá que introducir el contrario anillo de uno de los anillos en el juego. Ese es un ejemplo de su uso para la conveniencia notacional.

Dos lugares que se muestran:

Un grupo abelian $M$ $R, S$ bimodule iff es una izquierda $R\otimes S^{op}$ módulo.

Si $R$ es un anillo, entonces el anillo de módulo endomorphisms $End(R_R)\cong R$, pero $End(_RR)\cong R^{op}$.

¿Por qué es un derecho $A$-módulo de la misma cosa como una izquierda $A^{op}$-módulo?

Usted sólo tiene que marcar la $r\cdot m :=mr$ define a la izquierda de la estructura de módulo en $M$. Sin "frente a la multiplicación de la $\circ$", no hay manera de probar que $(r\circ s)\cdot m=r\cdot(s\cdot m)$.

¿Qué es la intuición detrás de la definición de [anti-involuciones], y para trabajar con ellos? ¿Alguna vez entran en la práctica? Y por qué no aportan un anillo de isomorfismo $A\cong A^{op}$?

Ellos vienen en la práctica, por ejemplo, en el complejo y cuaterniones la conjugación de los mapas. La primera es trivial ya que los números complejos son conmutativas, pero es trivial para los cuaterniones. Además, todo el tema de $^\ast$-anillos está dedicado al estudio de involuciones así.

En cuanto a por qué un anti-involución $f:A\to A$ de los rendimientos de un isomorfismo $A\cong A^{op}$, te aconsejo que adivinar lo que el candidato obvio para un mapa y, a continuación, comprobar para ver que es cierto.

¿Qué es la intuición detrás de $A^{op}\cong A$ por un anillo conmutativo $A$ y tener las nociones de izquierda y derecha, $A$- módulos coincidiendo?

Un anillo de ser isomorfo a su opuesto, el anillo sólo garantiza algunos simetría izquierda-derecha del anillo. Por ejemplo, si $R$ es derecho Noetherian, $R^{op}$ Noetherian. Si estos dos anillos son isomorfos, entonces $R$ es Noetherian en ambos lados. Si un anillo es isomorfo a su opuesto, entonces uno cara condición que tiene, tiene en ambos lados.

La categoría de módulos y la categoría de la izquierda módulos para un determinado anillo puede ser muy diferente de unos a otros. Podría ser, por ejemplo, que toda la izquierda del módulo admite un proyectiva de la cubierta, mientras que hay a la derecha de los módulos sin proyectiva cubre. Si, por otro lado, las dos categorías comparten las mismas propiedades, que es algo especial y es de nuevo una especie de 'simetría' sobre el anillo.