¿Cuál es el espacio más general donde las funciones continuas con soporte compacto son uniformemente continuas? He conseguido demostrarlo para espacios métricos, pero me interesa saber si también se cumple en espacios uniformes más generales. Gracias
Respuesta
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Creo que esto es válido para un espacio uniforme arbitrario.
En efecto, dejemos que $(x_\alpha)$ y $(y_\alpha)$ sean dos redes que se aproximan según la estructura uniforme (es decir, $(x_\alpha, y_\alpha)$ converge a la diagonal). Tenemos que demostrar que $f(x_\alpha) - f(y_\alpha) \to 0$ . Desde $f$ está acotado, al elegir las subredes podemos suponer que tanto $f(x_\alpha)$ y $f(y_\alpha)$ convergen a $\xi$ y $\eta$ respectivamente. Supongamos que $\xi \neq \eta$ y, digamos, $\xi \neq 0$ . Entonces $x_\alpha$ está finalmente dentro del soporte compacto de $f$ por lo que mediante una elección de subredes podemos suponer que $x_\alpha \to x$ . Pero como $(y_\alpha)$ se acerca a $(x_\alpha)$ , $x_\alpha \to x$ implica $y_\alpha \to x$ (esta es la definición de topología inducida por la estructura uniforme). Por lo tanto, $\eta = \xi$ .
