¿Solución correcta?

Question

Supongamos que $$\omega = \left(\sum_{i=1}^{n} x_i^2 \right)^k \mid n >2$$ Find $$ %k para que % $ $$ \sum_{i=0}^{n} \frac{\partial^2 \omega}{\partial x_i^2} = 0 \, \, \, \text{for all} \, \, \, x_i$
Propuso la solución: $$ \frac{\partial \omega}{\partial x_i} =2x_i k\left(\sum_{i=1}^{n} x_i^2 \right)^{k-1} $ $ $$ \frac{\partial^2 \omega}{\partial x_i^2} = (2x_i)^2 k(k-1)\left(\sum_{i=1}^{n} x_i^2 \right)^{k-2} + 2 k\left(\sum_{i=1}^{n} x_i^2 \right)^{k-1} = 2k\left(\sum_{i=1}^{n} x_i^2 \right)^{k-2}\left(2(k-1)x_i^2 + \left(\sum_{i=1}^{n} x_i^2 \right)\right)$ $

Resumen $i$ $$ 2k\left(\sum_{i=1}^{n} x_i^2 \right)^{k-2} \sum_{i=0}^{n}\left(2(k-1)x_i^2 + \left(\sum_{i=1}^{n} x_i^2 \right)\right)$ $ los rendimientos

por eso la suma es 0 iff $$ \sum_{i=0}^{n}\left(2(k-1)x_i^2 + \left(\sum_{i=1}^{n} x_i^2 \right)\right) = 0$ $ $$\sum_{i=0}^{n}(2(k-1)x_i^2 + \left(\sum_{i=1}^{n} x_i^2 \right)) = 2(k-1) \sum_{i=0}^{n} x_i^2 + \sum_{i=0}^{n} \left(\sum_{i=1}^{n} x_i^2 \right) = 2(k-1) \sum_{i=0}^{n} x_i^2 + n \left(\sum_{i=1}^{n} x_i^2 \right)$ $ $$( 2(k-1) + n )\left(\sum_{i=1}^{n} x_i^2 \right) = 0 \to k = 1- \frac{n}{2} $ $

¿Es esto una solución correcta?

Answer 1

La solución es perfecta.

Sólo una nota al margen, lo que se encuentra es la función de Green (solución fundamental) de la ecuación de Laplace, por lo que el$-\Delta \omega = 0$$\mathbb{R}^n\backslash\{0\}$.

Vamos $\mathbf{x} = (x_1,\dots,x_n)$, $r = |\mathbf{x}| = \sqrt{x_1^2 + \dots + x^2_n}$. Para un radialmente simétrica de la función $\omega = u(r)$, tenemos $$ u" + \frac{n-1}{r}u' = 0, $$ esto implica al $n\geq 3$ $$ u = c_1 + c_2 \frac{r^{2-n}}{2-n}, $$ natural y un registro de al $n=2$, una función lineal al $n=1$. Por lo tanto $$ \omega = C\left(\sum^n_{i=1} x_i^2\right)^{1-n/2}. $$ Si ponemos $c_1=0$, $C$ a menudo es elegido de tal manera que, en el sentido distributivo, $-\Delta \omega = \delta_0(\mathbf{x})$ que es la delta de Dirac en el origen.