Que infinitamente muchos elementos infinitamente muchas veces

Question

Esta es una pregunta ondulado algo mano pero no sé cómo pedir más precisamente.

¿Si tenemos una secuencia infinita numerable (o), podemos tomar distancia infinitamente muchos elementos de la secuencia infinitamente muchas veces y todavía quedar con infinitamente muchos elementos? ¿O es el caso de que nos debemos quedar con 0 o finito muchos elementos?

Answer 1

Aquí está una construcción de los números naturales.

Primero, quite todos los poderes de $3$. A continuación, retire todos los poderes de $5$. A continuación, retire todos los poderes de $7$. A continuación, retire todos los poderes de $11$. Continuar de esta manera, la eliminación de todos los poderes de cada uno de los impares primos. Claramente estos quitado los conjuntos son disjuntos (un número no puede ser una potencia de ambos $3$$5$, por ejemplo), y el infinito.

Pero lo que nos queda es también infinito. Por ejemplo, contiene todos los poderes de $2$, y este es un conjunto infinito.

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Otra posibilidad (que no utilizan ninguna hechos a partir de la teoría de los números) - vamos a $S$ ser el conjunto de todos los finita $0-1$ secuencias (por ejemplo, $010001110, 1001, 000\in S$). Quitar todas las secuencias de partida con $01$. A continuación, retire todas las secuencias de partida con $001$. A continuación, retire todas las secuencias de partida con $0001$, y continuar de esta manera. Una vez más, nos quite la infinidad de elementos infinitamente muchas veces, pero lo que tenemos a la izquierda (es decir, el conjunto de secuencias de partida con un $1$) sigue siendo infinito.

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Actualización: Se ha asumido en su pregunta de que es posible eliminar un número infinito de elementos de un conjunto infinitamente muchas veces. Bueno, si usted puede hacer eso (y puede), entonces solo deje de quitar el primer conjunto infinito. Entonces, lo que tienes a la izquierda al final va a ser infinito.

Answer 2

Sí, esto es posible.

Por ejemplo, consideremos el conjunto de todos los números naturales $\mathbb N$. En su primer movimiento, retire cada número es una potencia de $2$. En su segundo movimiento, quitar (desde el conjunto restante) cada número es una potencia de $3$. En su $n$-th mover eliminar todos los números que están en una potencia de la $n$-ésimo primo.

Después de haber hecho esto infinidad de veces (una vez para cada uno de los prime), todavía hay infinitamente muchos números a la izquierda - es decir, aquellos con al menos 2 diferentes factores primos (y también el número 1).

Answer 3

Sea $P_1$ el conjunto de los números primeros impares que son congruentes a $1$ modulo $4$. Es bien sabido que tal conjunto es infinito.

Comienzan con $X:=\mathbb{N}$.

Para cada principal $p\in P_1$ definir $X:=X-p\mathbb{N}$ es decir, quitar el conjunto de números enteros que son divisibles por $p$ (este es un conjunto infinito).

Ahora hacer esto para cada $p\in P_1$ obtenemos $X$con $3^n$ % todo $n\geq 0$así que esto es todavía infinita.

Answer 4

Otras posibilidades:

1. Tomar los números naturales. Primero quitar los números que son divisibles por 2, pero no por 4. A continuación, quitar los números que sean divisibles por 4, pero no por 8. A continuación, retire los números que son divisibles por 8, pero no por 16. En general, en la $n$th paso, quitar los números que son divisibles por $2^n$, pero no por $2^{n+1}$. Se queda con los números impares.

2. Tomar los números racionales. En el $n$th paso, quitar todos los racionales que se entre $n-1$$n$. Se queda con los números racionales negativos.