¿Qué le hizo elegir su campo de investigación?

Question

Me preguntaba por qué los matemáticos modernos no parecen descubrir tantos teoremas como los matemáticos antiguos. ¿Hemos llegado a una especie de límite de saturación en el que ya se han descubierto todas las matemáticas que se necesitan habitualmente o es que los libros de texto habituales no se actualizan con los teoremas recién descubiertos? ¿A los matemáticos de nuestra generación sólo les quedan temas de investigación en subcampos superespecializados? Me pregunto qué le hizo elegir su campo de investigación, qué tiene de hermoso? Entiendo que puede ser una pregunta un poco personal y no pretendo entrometerme en su intimidad. Supongo que si pudiera aclararme el campo con el que está familiarizado y por qué me recomendaría o no llevar a cabo una investigación en él, le estaría muy agradecido. Esto me ayudaría a tomar una decisión informada sobre la elección de un campo.

P.D.: Sé que "las matemáticas que se necesitan habitualmente" son subjetivas a la hora de interpretarlas, pero estaba pensando en definirlas como cualquier cosa que se enseñe en un nivel universitario.

Edición: De acuerdo con la solicitud, mi nivel educativo es que tengo una licenciatura en ciencias de la computación, un diploma de postgrado en matemáticas. Actualmente soy un estudiante con honores y comenzaría un PHD el próximo año. He tomado principalmente cursos de matemáticas de nivel universitario no riguroso, sobre todo porque es todo lo que la uni ofrecía en ese momento. Estos cursos eran sobre matemáticas financieras, dinámica, EDOs, modelización matemática con EDOs múltiples, álgebra lineal, probabilidad básica, modelización estadística, inferencia estadística, cálculo vectorial, series temporales. Fuera de los campos rigurosos sólo he estudiado por mi cuenta álgebra abstracta básica y algo de análisis matemático básico. Supongo que estoy en la infancia matemática y que me hacen elegir, lo que me da mucho miedo.

Answer 1

Empecé los estudios de posgrado queriendo ser analista. El primer año hice las secuencias estándar de introducción al álgebra, análisis y topología. En el segundo semestre, el curso de álgebra incluía mucha teoría de módulos y cosas homológicas/categóricas, y me enganché. Trabajo principalmente en la teoría de módulos porque me resulta interesante ver lo que se generaliza y lo que no a partir de los espacios vectoriales y los grupos abelianos, y lo que puedo aprender sobre los anillos a partir de los módulos. Disfruto con lo que hago. No estoy en una universidad de investigación, así que no tengo que preocuparme de si mi trabajo no está de moda o es muy potente. Lo hago por mí, en mi tiempo libre. No me metí en este negocio para hacerme rico o famoso, sino para perseguir lo que considero algunas ideas hermosas, y tal vez hacer una contribución aquí o allá. Hasta ahora ha sido un buen viaje.

Creo que las matemáticas siempre están estableciendo nuevos resultados. Según mi experiencia, los textos básicos de posgrado proporcionan una introducción a los distintos campos. En su mayor parte, no se encuentran en ellos los resultados avanzados que se necesitan para hacer una investigación seria. Ahí es donde los textos avanzados, los artículos, etc., resultan muy valiosos.

Answer 2

Estoy de acuerdo con la valoración de Martin. Parece que la mayor parte de la "fruta que cuelga baja" ha sido recogida. Es raro encontrar un resultado reciente que sea a la vez accesible e importante (en áreas como la "geometría euclidiana", el "álgebra de bachillerato" o el "cálculo de primer año", etc.). Esto no es demasiado sorprendente, dado que las áreas que se presentan al conjunto de la población (es decir, a los que no se dedican a las matemáticas) se han estudiado durante cientos de años y, por tanto, contienen en su mayoría resultados muy antiguos.

Contraejemplos de la idea "todo lo útil es viejo": Consideremos campos como el análisis numérico y la algoritmia (es decir, campos relacionados con la computación). Muchos algoritmos y técnicas numéricas tienen décadas, no siglos, de antigüedad. Otro buen contraejemplo es la estadística. Muchos métodos estadísticos son relativamente "nuevos".

Ciertamente hay otro componente de inercia. Los nuevos resultados tardan mucho tiempo en filtrarse desde las matemáticas a nivel de investigación hasta la escuela de posgrado, la licenciatura, etc. Por ejemplo, el cálculo ha tardado un par de cientos de años en llegar a las más (EE.UU.) de las escuelas secundarias. Imagino que con el tiempo veremos más y más estadísticas que muestran la educación secundaria.

¿Está la generación actual condenada a estudiar subcampos oscuros cuyos resultados tienen un alcance limitado? No. Sólo es cuestión de tiempo que surja algún campo nuevo con aplicaciones inmediatas asombrosas. No puedo decirle cuál podría ser. Imagino que ese campo aparecerá rápidamente y sin mucho aviso.

Para responder a su otra pregunta (bastante) diferente: "¿Cómo elegí mi subcampo y qué tiene de bonito?" Mi subcampo es la teoría de la representación de álgebras de Lie de dimensión infinita y álgebras de operadores de vértice. Como muchos otros matemáticos, creo que muchos factores aleatorios influyeron en mi elección. Estuve a punto de dedicarme a la topología algebraica, pero mientras intentaba decidirme por la topología o el álgebra, el asesor que tenía en mente para la topología contrató a otro estudiante. Pensando que estaría demasiado ocupado para trabajar conmigo, me decidí por las álgebras de Lie. Aunque ya me atraía esta área. La teoría de Lie está llena de bellas conexiones con todo tipo de áreas matemáticas. Un grupo de Lie tiene una estructura de grupo y una estructura de colector, de modo que al estudiar los grupos de Lie se puede jugar con la teoría de grupos y la teoría de colectores (así que, esencialmente, el álgebra moderna, las ecuaciones diferenciales, el análisis y la geometría, todo en un solo ámbito). Las álgebras de Lie también tienen algo muy atractivo. Son no asociativas y, al principio, bastante misteriosas. Luego, después de conocerlas mejor, ¡están por todas partes! También me encantó la conexión entre las álgebras de Lie de dimensión infinita y la teoría de cuerdas. Esto lleva a las álgebras de operadores de vértice, que a su vez conducen a los grupos esporádicos y a todo tipo de matemáticas interesantes (aparentemente desconectadas). Así que supongo que al final fueron las conexiones (a menudo bastante sorprendentes) con otras áreas de las matemáticas las que me atrajeron a esta área.

Answer 3

Yo siempre lo planteo de esta manera, que probablemente no sea 100% exacta pero da una imagen significativa:

Todas las matemáticas que se ven en el instituto y en los dos primeros años de licenciatura tienen más de 300 años, con pocas excepciones (el álgebra lineal elemental y la teoría de grupos elemental tienen más bien 150 años, por ejemplo). Sin embargo, la notación suele ser más moderna que la de los matemáticos originales que hicieron los descubrimientos.

La mayor parte de las matemáticas que se ven en el nivel de grado avanzado y de posgrado básico (digamos, el máster) tienen entre 100 y 50 años de antigüedad.

El conocimiento de las matemáticas es incremental, por lo que la mayoría de las veces para aprender cada nueva materia se requiere un conocimiento decente de las cosas anteriores (junto con la madurez). Así que, después de 12 años de escuela y 6 de universidad, uno está supuestamente preparado para empezar a aprender lo que los matemáticos hacen hoy en día (o en las últimas décadas, digamos): esto es lo que se hace cuando se empieza un doctorado.

Y, como se ha mencionado en el comentario anterior, hoy en día se producen muchas más matemáticas que antes. Yo diría que estoy bastante seguro de que se han creado y desarrollado más matemáticas desde 1900, digamos, que en conjunto antes.

Para tener una idea de la cantidad de productividad actual, le sugiero que eche un vistazo al Arxiv donde se publican actualmente gran parte de las nuevas matemáticas (aunque no todas, ni mucho menos).

Answer 4

Si no estás seguro de qué campo estudiar, ¿por qué no elegir el que más te guste o el que te resulte más natural?

Me interesé de forma natural por la topología algebraica por dos razones. En primer lugar, porque como campo se ajusta a mi forma de pensar: de forma abstracta y con imágenes. Segundo, porque necesitaba algo para responder a una pregunta que tenía, y la Topología Algebraica era esa "cosa". Empezó en el instituto, antes de que supiera que existía la palabra "Topología".

En el último año de la escuela secundaria ya había tomado los buenos cursos de matemáticas de grado 12, así que me aburría y empecé a tratar de pensar en mis propios problemas de matemáticas. Muchos de ellos no tenían realmente sentido (me doy cuenta en retrospectiva), pero hay uno en particular que realmente se me quedó grabado:
Conocía esta cosa llamada "banda de Möbius", que es una superficie de un solo lado con un solo borde. También había oído hablar de esta "botella de Klein", que era una superficie de un solo lado con no borde, pero si se recorta un disco tiene las mismas propiedades de superficie/borde que la banda de Möbius. Me pregunté si se podía "transformar continuamente" la banda de Möbius en la botella de Klein, y empecé a dibujar secuencias de imágenes en un intento de encontrar dicha transformación.

Como puedes imaginar (o deducir) pronto me quedé estancado, y pasé a otra cosa. Unos meses más tarde llegué a la Universidad y decidí preguntar a alguien que realmente supiera lo que estaba haciendo. Su respuesta fue "Hmm, ¡buena pregunta! Tal vez puedas encontrar la respuesta aquí:" y me prestó "Un curso básico de topología algebraica" de Massey. Tras muchas horas descifrando el contenido del capítulo 1, llegué a la conclusión de algunos hechos:

1) Si unimos un disco a la frontera de la banda de Möbius, obtenemos el plano proyectivo (mindblow). La botella de Klein es la "suma conectada" de dos planos proyectivos (mindblow).

2) El plano proyectivo y la botella de Klein son variedades bidimensionales compactas, conectadas y sin límites, y ambas son no orientables.

3) Puede asignar un número (la "característica de Euler" $\chi$ ) a un 2manifold compacto conectado con límite de tal manera que $\chi(M\#N)=\chi(M)+\chi(N)-2$ para cualquier $M$ y $N$ y si $M$ y $N$ son ambos orientables (o ambos no orientables) entonces $\chi(M)=\chi(N)$ si son homeomorfas. (mindblow)

4) La botella de Klein y el plano proyectivo tienen números diferentes: $\chi(P^2)=1$ pero $\chi(K)=2\chi(P^2)-2=0$

Cuando finalmente pude decir con confianza "Por lo tanto, estos objetos que definí no pueden ser homeomórficos" sentí el poder y el misterio de la topología algebraica (por muy cursi que suene). Aunque mi comprensión del material y de las matemáticas en general era todavía bastante primitiva, entendí un principio subyacente: La Alg.Top. toma problemas geométricos aparentemente intratables y los reduce a problemas algebraicos relativamente sencillos, a veces tan simples como comparar dos números.

En la actualidad, mi tema de investigación son las estructuras suaves exóticas en las variedades, e incluso aquí la vertiente algebraica desempeña un gran papel. En el caso más simple de una esfera $S^n$ de dimensión $n$ , el conjunto de estructuras suaves (algo "suave") está muy relacionado con el "grupo de homotopía estable" $\Pi_n$ (una cosa de "topología+álgebra") a través del llamado "J-homorfismo" (una cosa de "suave+álgebra"). El escenario es MUCHO más complicado, pero el principio sigue siendo el mismo: encontrar una forma de expresar los conceptos geométricos algebraicamente, donde las cosas son más sencillas.

Answer 5

Tuve un curso de Teoría de la Probabilidad, que me pareció muy desafiante. Luego tuve un curso de Teoría de Grafos que me encantó. Al final tuve un curso de Aprendizaje Automático, que me pareció muy útil, y todo esto me llevó a la Inferencia Bayesiana en Redes Complejas.