En el anillo generado por un número entero algebraico sobre el anillo de números enteros racionales

Question

Que $f(X) \in \mathbb{Z}[X]$ ser un polinomio irreducible monic. Que $\theta$ sea una raíz de $f(X)$. Que $A = \mathbb{Z}[\theta]$. Que $p$ ser un número primo. Supongamos que $p$ no divide el discriminante de $f(X)$. Por Teorema de mentira, existe un primer ideal $P$ $A$ mentira $p$. ¿Es un anillo discreto de la valuación de $A_P$? En caso afirmativo, ¿cómo sería usted probarlo?

Answer 1

Que $f(X) \equiv g_1(X)...g_e(X)$ (mod $p$), donde $g_1(X), ..., g_e(X)$ % mod irreducible monic $p$. Desde $f(X)$mod $p$ no tiene ninguna raíz múltiple, son barrio. Por este, $P = (p, g_i(\theta))$ para algún i. Mi respuesta a esta pregunta, $A_P$ es un anillo discreto de la valuación y hemos terminado.

Answer 2

Supongamos $P$ divide el conductor de $A$. Entonces mi respuesta a esta pregunta, $P$ divide el discriminante de $f(X)$. Esta es una contradicción. Por lo tanto $P$ de la dosis no dividir el conductor. Por lo tanto $A_P$ es integralmente cerrado por la respuesta a esta pregunta. Por lo tanto, $A_P$ es un discreto anillo de valoración.