La pregunta lo dice todo, en realidad. Tengo $[ \hat {H}, \hat {O}]=-2i \hbar\hat {H}$ . ¿Significa esto que el operador $ \hat {O}$ (un observable) es especial de alguna manera?
Respuestas
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¿Significa esto que el operador $\hat O$ (un observable) es especial en algún manera?
Creo que significa que no hay tal $\hat O$ .
Si $\hat O$ corresponde a un observable, requerimos que los valores propios sean reales.
Dejemos que $|o\rangle$ sea un cohete propio de $\hat O$ con valor propio real $o$ :
$$\hat O |o\rangle = o |o\rangle$$
Ahora considere lo siguiente
$$\hat O \hat H |o\rangle = (\hat H \hat O - [\hat H, \hat O])|o\rangle = \hat H o|o\rangle + 2i\hbar \hat H |o\rangle = (o + 2i\hbar)\hat H |o\rangle$$
Así, $\hat H |o\rangle$ es un ceto propio de $\hat O$ con complejo valor propio $(o + 2i\hbar)$ en contradicción con el requisito de que los valores propios de $\hat O$ son real .
gonenc
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1764
$\newcommand{\ket}[1]{\left| #1 \right>}$ $\newcommand{bra}[1]{\left< #1 \right|}$ $\newcommand{bk}[2]{\left< #1 | #2 \right>}$ $\newcommand{bok}[3]{\left< #1| #2 |#3\right>}$
Significa básicamente que todos los estados propios de energía tienen un valor propio de energía cero. Arriba...
Dejemos que $\left| \psi \right>$ sea un estado propio energético normalizado con valor propio energético $E_\psi$ .
$$\bok{\psi}{[H,O]}{\psi}=\bok{\psi}{HO-OH}{\psi}=E_\psi \left\{ \bok{\psi}{O}{\psi} - \bok{\psi}{O}{\psi}\right\}=0$$ Por otro lado:
$$\bok{\psi}{[H,O]}{\psi} = \bok{\psi}{2i\hbar H}{\psi} = 2i\hbar E_\psi = 0 \quad \forall \left| \psi \right>$$
$$\implies E_\psi=0 \quad \forall \left| \psi \right>$$
Stephen Deken
Puntos
2418
Supongamos que el grupo espacio-tiempo incluye dilataciones que expanden o contraen el espacio. Puntos en el espacio $x^{i}\in V_{3}$ transformarse bajo una pequeña dilatación $\epsilon$ cerca de la identidad como, \begin{equation} x'^{i}=x^{i}+\epsilon x^{i} \ . \end{equation} El cambio en las coordenadas es, \begin{equation} \frac{d x^{i}}{d\epsilon}=x^{i} \end{equation} En la formulación hamiltoniana, el generador de dilataciones será alguna función del espacio de fase $O$ tal que el PB, \begin{equation} \frac{dx^{i}}{d\epsilon}=[x^{i},O]_{PB}=\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{k}}\frac{\partial O}{\partial p^{k}}-\frac{\partial x^{i}}{\partial p^{k}}\frac{\partial O}{\partial x^{k}}=\frac{\partial O}{\partial p^{i}}=x^{i} \end{equation} Integrando, se obtiene la función del espacio de fase como \begin{equation} O=p^{i}x^{i} \ . \end{equation} Si el grupo del espaciotiempo es la relatividad galileana, el hamiltoniano es, \begin{equation} H=\frac{p^{i}p^{i}}{2m} \ . \end{equation} El PB de interés es entonces, \begin{equation} [H,O]_{PB}=-\frac{\partial H}{\partial p^{k}}\frac{\partial O}{\partial x^{k}}=-\frac{p^{k}p^{k}}{m}=-2H \ . \end{equation} Ahora pasa a la mecánica cuántica sustituyendo las funciones del espacio de fase por operadores, \begin{equation} [\hat{H},\hat{O}]=-2i\hat{H} \end{equation} Esto recupera el conmutador en la pregunta y muestra que tiene el significado de una dilatación del espacio-tiempo galileano.
Las otras respuestas afirman que $\hat{O}$ no es hermético o que no existe. Sin embargo, $\hat{O}$ debe existir y ser hermitiano porque es el generador de dilataciones en el espacio-tiempo afín y todos los espacios afines -los que tienen una noción de paralelismo- tienen dilataciones además de traslaciones (véase el capítulo 13 de la "Introducción a la geometría" de Coxeter). Las dilataciones no son familiares, pero se puede establecer un conmutador similar para el impulso $\hat{K}$ y los argumentos de las otras respuestas volverían a decir que los boosts no son hermitianos o no existen. Entonces, el álgebra para un impulso es, \begin{equation} [\hat{K},\hat{P}]=i\hat{H} \end{equation} \begin{equation} [\hat{K},\hat{H}]=i\hat{P} \end{equation} Restando, \begin{equation} [\hat{P}-\hat{H},\hat{K}]=i(\hat{P}-\hat{H}) \ . \end{equation} Esto es lo mismo que $[\hat{H},\hat{O}]=-2i\hat{H}$ modulando un factor numérico, con $\hat{H}\rightarrow\hat{P}-\hat{H}$ y $\hat{O}\rightarrow \hat{K}$ .
