Es la primera vez que publico algo aquí. Si hay algo incorrecto, por favor infórmeme... De todos modos, esta es mi pregunta:
Dejemos que $k$ sea un número entero no negativo. Decimos que una secuencia $(a_n)$ es $(R, k)$ -sumable a $a$ si
$ \displaystyle \lim_{x\to\infty} \sum_{n \leq x} a_n \left( 1 - \frac{\log n}{\log x} \right)^k = a,$
y denotamos $\sum a_n = a \ (R, k)$ .
Es fácil demostrar que $(R, 0)$ -es equivalente a la sumabilidad ordinaria, y $\sum a_n = a \ (R, k)$ implica $\sum a_n = a \ (R, j)$ para todos $j \geq k$ .
Mi pregunta es la siguiente: Dejemos que $\alpha (s) = \sum a_n n^{-s}$ . Si $\sum a_n = a \ (R, k)$ entonces el límite $\lim_{s \to 0^+} \alpha (s)$ ¿Existe? Si es así, ¿el límite coincide con $a$ ?
Pude demostrar que $\alpha (s)$ puede continuarse analíticamente para $\Re (s) > 0$ y para esta continuación, tenemos $\alpha (s) \to a$ como $s \to 0^{+}$ . Pero no es inmediato, ni siquiera es seguro que esto garantice la convergencia de $\sum a_n n^{-s}$ para $\Re (s) > 0$ . O hay alguna otra forma de probar o refutar que $\sum a_n n^{-s}$ existe para $\Re (s) > 0$ ?
