Una sentencia de primer orden tal que el espectro finito de esa sentencia son los números primos

Question

El espectro finito de una teoría $T$ es el conjunto de números naturales tal que existe un modelo de ese tamaño. Es decir $Fs(T):= \{n \in \mathbb{N} | \exists \mathcal{M}\models T : |\mathcal{M}| =n\}$ . Lo que pido es un axiomatizado finito $T$ tal que $Fs(T)$ es el conjunto de números primos.

En otras palabras, en qué idioma concreto $L$ y qué tipo de $L$ -sentencia $\phi$ tiene la propiedad de que $Fs(\{\phi\})$ es el conjunto de números primos?

Answer 1

En lugar de dar una respuesta explícita, voy a dar una pista. Yo vi este problema cuando estaba en la escuela de posgrado, y supongo que muchas otras personas también lo vieron. El secreto de estos problemas es tener una enorme biblioteca de resultados matemáticos a la que recurrir. Entonces te inventas la respuesta para explotar algún teorema que ya conoces. En este caso, una forma de empezar es hacer una fórmula que obligue al modelo a parecerse a un segmento inicial $\{1, \ldots, n\}$ de los números naturales con relaciones para las restricciones de las gráficas de las funciones de suma y multiplicación a los triples de ese subconjunto.

Answer 2

Esto existe debido a resultados muy generales, a saber, que el conjunto de los primos es rudimentario . Véase este excelente estudio sobre los espectros: Durand et al. Cincuenta años del problema del espectro: encuesta y nuevos resultados. Lo mismo ocurre con todas las funciones "naturales" conocidas de la teoría de los números. De hecho, los autores comentan en la sección 4.2 que "no conocemos ninguna función natural de la teoría de los números que sea demostrablemente no rudimentaria".

Answer 3

Consideremos campos finitos dotados de un orden total tal que para cada $x$ si tiene un sucesor inmediato, entonces ese sucesor es $x+1$ .