¿Diámetro de un conjunto es una medida?

Question

Supongamos que el diámetro de un conjunto no vacío $A$ se define como

$$\sigma(A) := \sup_{x,y \in A} d(x,y)$$

donde $d(x,y)$ es una métrica.

¿Es una 'medida' de $\sigma(.)$? Es decir, ¿cómo pruebo la aditividad contable para este caso en particular?

Answer 1

Observar que el diámetro de singletons $0$ y el diámetro del conjunto $\{x,y\}$ $d(x,y)>0$ si $x\neq y$. Por lo que no aditividad.

Answer 2

No es incluso finitamente aditiva. Si $X$ y $Y$ son dos intervalos disjuntos de cerrado en la línea verdadera entonces el diámetro de su unión no es la suma de sus diámetros.

Answer 3

... sin dejar de mencionar

$\sigma( \text{rational numbers between A and B}) + \sigma( \text {irrational numbers between A and B}) \ne \sigma( \text{ real numbers between A and B})$.

Esto es más o menos el ejemplo perfecto de algo que no puede ser una medida absolutamente y que ilustra por qué necesitamos un concepto de medida.

Answer 4

Que $A$ sea un círculo de diámetro 1 y que $B$ un círculo de diámetro 2, teniendo el mismo centro del $A$. Tenga en cuenta que $A \subseteq B$.

Ahora, $\sigma(B) = 2$ y $\sigma(B \setminus A) + \sigma(A) = 2 + 1 = 3$.