¿Si el Wronskian es cero en algún momento, esto implica una dependencia lineal de funciones?

Question

Sabemos que

1. si para las funciones de $f$$g$, el Wronskian $W(f,g)(x_0)$ es distinto de cero para algunos $x_0$ en [a,b], entonces f y g son linealmente independientes en [a,b].
2. Si f y g son linealmente dependientes entonces el Wronskian es cero para todos los $x_0$ en [a,b].

Mi duda es : Si para algunos $x$ $W(f,g)(x)$ es cero, podemos concluir que wronskian es idéntica a cero como sabemos que wronskian es cero o nunca cero.

En uno de los problemas Wronskian $W$ venía como $-x^2$$(\infty,-\infty)$. Desde $W$ $0$ $x=0$ podemos decir wronskian es idéntica a cero O utilizando el punto 1, podemos concluir que estamos recibiendo más de un punto donde wronskian no es cero y, por tanto, las funciones son linealmente independientes.

Answer 1

"Idéntica a cero" significa "igual a cero para todos los valores de $x$".

La función de $-x^2$ es no idéntica a cero, porque no hay valores de $x$ (como $1,2,3,\dots$) para lo cual es distinto de cero.

Desde el Wronskian de linealmente dependiente de las funciones es idéntica a cero, las funciones cuyo Wronskian es $-x^2$ son no linealmente dependiente.

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Como un aparte: hay un escenario en el que $W$ es siempre cero o nunca cero: esto ocurre cuando las dos funciones son soluciones de la ODA de la forma $y''+p(x)y'+q(x)y=0$. Para este tipo de soluciones, la Wronskian satisface la identidad de $W(t)=W(s)\exp\left(-\int_s^t p(x)\,ds\right)$, lo que implica que si $W$ es cero en algún punto, es cero en todas partes.