Singularidad de funtores adjuntos hasta el isomorfismo

Question

Supongamos que tenemos functors $F:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}$ $G,G':\mathcal{D}\rightarrow\mathcal{C}$ tal que $G$ $G'$ son correctas adjunto a $F$. Para mostrar que $G$ $G'$ son isomorfos, queremos llegar con un natural de isomorfismo entre los dos functors. Esta es la forma en Awodey hace:

Para cualquier $D\in\mathcal{D}$ y cualquier $C\in\mathcal{C}$, $Hom(C,GD)\cong Hom(FC,D)\cong Hom(C,G'D)$ simplemente utilizando el hom-definición de conjunto de adjunctions. Por el Yoneda principio, esto significa que $GD\cong G'D$ todos los $D\in\mathcal{D}$.

Awodey, a continuación, los estados que

Pero este isomorfismo es natural en $D$, de nuevo por adjointness.

Yo no entiendo muy bien cómo la connaturalidad de la siguiente manera a partir de adjointness. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

La biyección$\hom(C,GD) \cong \hom(C,G'D)$ es natural en$C$, por lo que es inducida por un isomorfismo$GD \cong G'D$ (Yoneda Lemma). Pero también es natural en$D$, y puesto que la incrustación de Yoneda es fiel, esto significa que$GD \cong G'D$ es natural en$D$. Más detalles:

Si$D \to E$ es un morfismo, a continuación,

$\begin{array}{ccc} GD & \rightarrow & G'D \\ \downarrow & & \downarrow \\ GE & \rightarrow & G'E \end{array}$

conmuta si y sólo si para cada$C$ el diagrama

$\begin{array}{ccc} \hom(C,GD) & \rightarrow & \hom(C,G'D) \\ \downarrow & & \downarrow \\ \hom(C,GE) & \rightarrow & \hom(C,G'E) \end{array}$

desplazamientos.

Answer 2

Este parece ser uno de esos casos donde la prueba de scratch es fácil, y usted no necesita saber (explícitamente) nada acerca de Yoneda.

1). Usted sabe que hay un isomorfismo natural dado por $\varphi_{A,D} :$hom$(A,GD)\rightarrow $hom$(A,G'D)$

2). Conjunto $A=GD$, $\varphi _{GD,D}(1 _{GD})=\tau _{D}$. Entonces, por lo que sigue, el $\tau _{D}$ son los componentes de la natural isomorfismo $G\overset{\cdot }{\rightarrow}G'$

3) Escribir

\begin{array}{ccc} \hom(GD,GD) & \rightarrow & \hom(GD,G'D) \\ \downarrow & & \downarrow \\ \hom(GD,GD_{1}) & \rightarrow & \hom(GD,G'D_{1} ) \end{array} Entonces si $f:D\rightarrow D_{1}$, siga $1_{GD}$ alrededor de la plaza. Esto le da a $G'f\circ \tau _{D}=\varphi _{GD,D_{1}}(Gf)$.

4). Escribir \begin{array}{ccc} \hom(GD_{1},GD_{1}) & \rightarrow & \hom(GD_{1},G'D_{1}) \\ \downarrow & & \downarrow \\ \hom(GD,GD_{1}) & \rightarrow & \hom(GD,G'D_{1} ) \end{array}

y siga $1_{GD_{1}}$ alrededor de la plaza. Esto le da a $\varphi _{GD,D_{1}}(Gf)= \tau _{D_{1}}\circ Gf$

5). La combinación de los dos anteriores artículos, consigue $G'f\circ \tau _{D}=\tau _{D_{1}}\circ Gf$, lo $\tau $ es una transformación natural. Ahora, desde la $\varphi$ es un isomorfismo natural en $A$$D$, para cada uno de los $D$, $\varphi _{GD,D}(1 _{GD})=\tau_{D}$ es un isomorfismo, lo que implica $\tau $ sí es.

Answer 3

De hecho, tenemos una combinación de isomorfismos naturales% $\tau:\hom(\bullet,G\bullet)\to \hom(F\bullet,\bullet)\to \hom(\bullet,G'\bullet)$.

En más detalles,$\tau$ tiene componentes$\tau_{C,D}:\hom(C,GD)\to\hom(C,G'D)$ satisface la condición de naturalidad: para las flechas$\gamma:C_1\to C$,$\ \delta:D\to D_1\,$ y$\, f:C\to GD$$$\tau(G\delta\circ f\circ\gamma)=G'\delta\circ\tau(f)\circ\gamma\,. $ $ Ahora hemos de aplicar el lema de Yoneda básicamente significa que considerar el caso cuando$C=GD$ y aplicar$\tau$ a$1_{GD}$. Esto lleva a un$GD\to G'D$ flecha, verificar (usando la ecuación anterior) que es natural en$D$, y encontrar su inversa (por ejemplo, aplicando el mismo que$C=G'D$ y$\tau^{-1}$ .

Answer 4

No estoy seguro de que he de responder con precisión a su pregunta, pero quiero compartir mi idea.

Vamos a ver la categoría de $C$ como una subcategoría plena de su presheaves(la imagen de la Yoneda incrustación $C\to\mathbf{Set}^{C^{op}}$).

Contigüidad le da un isomorfismo natural $hom_C(C,G(D))\to hom_C(C,G'(D))$, que en realidad es un isomorfismo natural entre las siguientes dos functors: $$ X=(hom_C\circ(I_{C^{op}}\times G))\colon C^{op}\times D\a\mathbf{Set}; $$ $$ Y=(hom_C\circ(I_{C^{op}}\times G'))\colon C^{op}\times D\a\mathbf{Set}, $$ que son objetos en la categoría de $\mathbf{Set}^{C^{op}\times D}$. Considere la posibilidad de una exponencial functor: $$ E\colon\mathbf{Set}^{C^{op}\times D}\(\mathbf{Set}^{C^{op}})^D $$ Así que tenemos dos isomorfo functors $E(X),E(Y)\colon D\to\mathbf{Set}^{C^{op}}$. Es fácil comprobar que sus imágenes están en $C$, y la constricción en $C$ rendimientos $E(X)|_C=G, E(Y)|_{C}=G'$. Por lo tanto, la forma natural de isomorfismo entre el $E(X)$ $E(Y)$ induce un isomorfismo natural entre el$G$$G'$.