extensión cuadrática del campo Número unramified

Question

Trato de entender la siguiente declaración

Hay sólo un número finito de extensión unramified cuadrática de un campo de número de$K$

Sé por la teoría Kummer que tales extensiones son de la forma$K(\sqrt{a})$ para algunos$a \in K$ tal que$a$ genera$K^*/(K^*)^2$. Pero no puedo encontrar la manera de utilizar esto para mostrar la reclamación.

Answer 1

Uno puede demostrar que esta directamente:

En primer lugar, como se señaló en el OP, Kummer la teoría dice que un quad. ext. es de la forma $K(\sqrt{a})$ $a \in K^{\times}/(K^{\times})^2.$

Sin embargo, la condición para esta extensión para ser unram. está mal-dijo.

Si $\mathfrak p$ es un primo impar residuo característico, a continuación, $K(\sqrt{a})$ es unramified en $\mathfrak p$ si y sólo si $v_{\mathfrak p}(a)$ es incluso.

Si $\mathfrak p$ incluso ha residuo característico, entonces la condición de que $v_{\mathfrak p}(a)$ ser incluso es necesario, pero no suficiente, para la $K(\sqrt{a})$ a ser unramified en $a$.

Una manera de aprovechar esta información es la siguiente:

Hay una natural mapa

$$K^{\times}/(K^{\times})^2 \to \oplus_{\mathfrak p} \mathbb Z/2\mathbb Z$$

(la suma de comenzar tomado todos los números primos) dado por $a \mapsto (v_{\mathfrak p}(a) \bmod 2)$, y el $a$ estamos interesados en yacen en el núcleo de este morfismos. Por lo tanto, si podemos mostrar este kernel es finita, lo vamos a hacer.

Para analizar este kernel, vamos a empezar con una secuencia exacta:

$$ 1 \to \mathcal O_K^{\times} \to K^{\times} \to \oplus_{\mathfrak p} \mathbb Z \to \mathrm{Cl}_K \to 0.$$

Tenga en cuenta que $\oplus_{\mathfrak p} \mathbb Z$ es sólo otra manera de describir el grupo de fracciones de ideales, y así los mapas aquí son los más obvios: la inclusión de $\mathcal O_K^{\times}$ a $K^{\times}$, el mapa enviar a un elemento de $K^{\times}$ a las correspondientes fracciones de ideal, y el mapa enviar a un ideal fraccional a los correspondientes ideal de clase.

En primer lugar, si $\mathrm{Cl}_K$ eran triviales, nos gustaría ver (por tensoring esta secuencia exacta con $\mathbb Z/2\mathbb Z$) que $\mathcal O_K^{\times}/(\mathcal O_K^{\times})^2$ surjects en el kernel que estamos interesados. Pero este cociente es finito (como $\mathcal O_K^{\times}$ es f.g.), y por lo tanto también lo es el kernel que estamos interesados.

En general, $\mathrm{Cl}_K$ es finito, y así que un poco de homológica de la argumentación muestra que la cokernel de la inducida por el mapa de $\mathcal O_K^{\times}/(\mathcal O_K^{\times})^2$ al núcleo de interés es finito. De nuevo, esto implica que el núcleo de interés es finito.

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Este argumento se ilustra en un caso especial de la Kummer la teoría de los argumentos que aparecen en las pruebas de campo de la clase de teoría.

Answer 2

Aquí es una prueba similar a la de seguimiento's, pero expresado en un lenguaje ligeramente diferente, y que demuestra que, de hecho, $K$ tiene sólo un número finito de extensiones cuadráticas unramified fuera de los primos de más de $2$.

Es decir, vamos a $U$ $\mathrm{Spec}(\mathcal{O}_K)-S$ donde $S$ es el conjunto de los números primos se encuentra por encima del $2$. En otras palabras, $U=D(2)$, y tan sólo es $\mathrm{Spec}(\mathcal{O}_K[\frac{1}{2}])$. Nota entonces que tenemos un surjection

$$\mathrm{Cl}(\mathcal{O}_K)\to \mathrm{Cl}(U)$$

y por lo $\mathrm{Cl}(U)$ es finito (esto también se acaba de la siguiente manera, ya que es un anillo de $S$-enteros, y así uno puede utilizar la versión generalizada de la finitud de la número de clase). En particular, nos se que $\mathrm{Cl}(U)[2]$ es finito.

Entonces, tenga en cuenta que a partir de Kummer teoría tenemos una breve secuencia exacta

$$1\to \mathbf{G}_m(U)/\mathbf{G}_m(U)^2\to \mathrm{Hom}_\mathrm{cont.}(\pi_1(U),\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\to \mathrm{Pic}(U)[2]\to 1$$

Pero, $\mathrm{Pic}(U)[2]=\mathrm{Cl}(U)[2]$ es finito, y $\mathbf{G}_m(U)/\mathbf{G}_m(U)^2$ es finito por la versión generalizada de Dirichlet de la unidad de teorema (de nuevo, es sólo un anillo $S$-enteros).

Así, vemos que la $\mathrm{Hom}_{\mathrm{cont.}}(\pi_1(U),\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ es finito. Pero, este es precisamente el conjunto de extensiones cuadráticas $L/K$ unramified fuera de $S$ (es decir, unramified fuera de los números primos dividiendo $2$). Así, es evidente que el conjunto de extensiones cuadráticas unramified todo el mundo es finito.

Por supuesto, tenga en cuenta que si $K\supseteq\mu_n(\overline{K})$ por encima de la prueba pasa a través de trabajo de grado $n$ unramified abelian extensiones.