¿Cuándo un anillo finito se convierta en un campo finito?

Question

Soy relativamente nuevo en el anillo de la teoría por lo que este es, probablemente, una simple pregunta.

Es fácil ver que un número finito de anillo conmutativo y tiene divisores de cero (es decir, la integral de dominio) debe tener los inversos multiplicativos.

Me pregunto si podemos arreglar estas propiedades y siempre conseguir la implicación o producir finito anillos con sólo 2 de las propiedades antes mencionadas.

Explícitamente mis preguntas son:

1) Hace un finito anillo conmutativo con los inversos multiplicativos siempre sin divisores de cero? (EDIT: esta es bastante fácil también, vamos a xy=0 y supongamos que x no 0. entonces (x^-1)xy=(x^-1)0. Por lo tanto, y=0 como se desee.)

2) Es un anillo finito que tiene inversos multiplicativos y sin divisores de cero siempre conmutativa?

Si estos son realmente sencillos ejercicios, me gustaría una sugerencia para empezar con las pruebas, o cualquier contraejemplos.

Gracias :)

Answer 1

SUGERENCIA 1) Si$\;\rm R\;$ es finito entonces$\;\rm x\to r\:x\;$ es en si y sólo si 1-1, por lo que$\;\rm R\;$ es un campo si y sólo si$\;\rm R\;$ es un dominio.

2) es pequeño teorema de Wedderburn .