aplicación continua$\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n$

Question

Cuando se dice que algunos de mapa de $\phi=(\phi_1,\ldots,\phi_n)$ es un mapa continuo $\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n$ realidad queremos decir que cada componente $\phi_i$ es continuo, como una función de $\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ o qué queremos decir algo más? $\mathbb{R}^n$ es un espacio vectorial, por lo que también podemos considerar la distancia entre dos vectores $\|v-u\|$ y el uso de la definición de continuidad en $\mathbb{R}^n$ como un todo. El enfoque es la "correcta"? Estoy un poco confundido.

Editar

Ahora sé que no es el teorema que dice que el componente sabio continuidad es equivalente a la continuidad. Voy a tratar de demostrar esta afirmación.

Deje $\phi=(\phi_1,\ldots,\phi_n):\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n.$

1) que cada uno de $\phi_i$ ser funciones continuas de$\mathbb{R}^n$$\mathbb{R}$. Deje $\|\cdot \|$ denotar norma euclídea en $\mathbb{R}^n$. De continuidad tenemos $$\forall i \quad \forall x \quad\forall\epsilon>0\quad \exists \delta >0\quad\forall y :\|x-y\|<\delta\implies|\phi_i(x)-\phi_i(y)|<\epsilon/\sqrt{n}$$

Answer 1

Este es uno de esos casos donde la categoría de teoría se aclara el misterio acerca de los productos de conjuntos con estructura. Una vez que el producto en $\text Set$ de una colección de conjuntos de $\left \{ X_{\alpha } \right \}_{\alpha \in I}$ se obtiene, mediante la asignación universal propiedad (UMP), si el individuo $X_{\alpha }$ tiene estructura---por ejemplo, si tienen topologías o si son grupos ... uno puede decir exactamente lo que el producto$\mathit must$, con el fin de la UMP para ser conservado.

Ahora, el hecho de que, por ejemplo, $\mathbb R^{\omega }$ es metrizable en la topología producto, pero no en el cuadro de toplogy, nos dice, en cierto sentido, que el producto de la topología es el "derecho" a utilizar y el cuadro de topología no es si queremos buenos resultados; es decir, la UMP es lo que determina cómo debemos ver los productos. Por supuesto, esto no significa que siempre podemos conseguir lo que nos gustaría: por ejemplo, si $I$ es incontable, $\mathbb R^{I}$ no es metrizable en el producto toplogy.

Como por las normas, todos ellos son equivalentes en $R^{n}$$n\in \mathbb N$, pero no en el infinito-dimensional espacios. Por ejemplo, el $l_{p}$ espacios son todos diferentes con $l_{p}\subset l_{q}$ siempre $q>p$, el ejemplo obvio de ser la secuencia de $\left \{ \frac{1}{n} \right \}_{n\in N}$$l_{2}$, pero no en $l_{1}$.