¿Cuántas posibles contraseñas de iPhone hay?

Question

Un iPhone estándar tiene $10$ dígitos (que van del $0$ al $9$). Considera un usuario que tiene los dedos grasientos (lo cual es normal para un usuario promedio) y desbloquea el iPhone presionando los números en el teclado numérico, creando la contraseña. Si toca la tecla numérica, quedará marcada (con grasa).

Si su clave de bloqueo contiene 4 números diferentes, habrá 4 marcas en el teclado numérico. En este caso, sabemos que hay $^4P_4=24$ posibles contraseñas. De manera similar, si la clave de bloqueo contiene solo 1 número, solo habrá una contraseña posible, que contendrá el mismo número.

Se dice que hay más opciones si hay 3 marcas en el teclado numérico. ¿Alguien podría demostrarlo? ¿Cuántas contraseñas posibles hay con exactamente 3 números? Ten en cuenta que una contraseña de iPhone tiene exactamente 4 dígitos.

Answer 1

Permita que las teclas marcadas sean: a, b, c
Podemos elegir cualquiera de ellas para que sea la que se utilice más de 1 vez. Pero debido a que la longitud de la contraseña es 4, solo podemos elegir una de ellas para que se repita dos veces.
Por lo tanto, ${3\choose 1}\times \frac{4!}{2!1!1!}$ sería la respuesta, que es 36
Nota: Si tenemos $k_1$ objetos de tipo 1, $k_2$ objetos de tipo 2,...,$k_n$ objetos de tipo $n$, las posibles formas de organizarlos en una fila serían $$\frac{(k_1 + k_2 + ...+k_n)!}{k_1!k_2!...k_n!}$$

Answer 2

Intercambiar el mismo número genera la misma contraseña. Entonces hay 2 $abca$ y $acba$. 6 que tienen aa juntos contándolos como 1 número. Y 4 con a#a, lo que eleva el total a 12, la mitad de la cantidad posible con cuatro borrones. Multiplica esto por 3 para la cantidad de números que podrían ser a y tendrás 36.