¿Cómo mostrar $\kappa^{cf(\kappa)}>\kappa$?

Question

Para $\kappa \geq \omega$, que es un cardinal, ¿cómo mostrar que $\kappa^{cf(\kappa)}>\kappa$?

Mi idea: Cuando $\kappa=\aleph_\omega$, entonces $cf(\kappa)=\omega$, ¿es $\kappa^\omega>\kappa$? Parece que $\kappa^{cf(\kappa)}>\kappa$ está equivocado.

¿Me podrías ayudar?

Answer 1

Este es conocido como el teorema de Koenig.

En este hilo hay varias respuestas sobre la prueba de que si $A_i

Aplica este resultado al caso donde $I=\operatorname{cf}(\kappa)$, $\langle A_i\mid i<\kappa\rangle$ es una partición de $\kappa$ en conjuntos de cardinalidad $<\kappa$, y $B_i=\kappa$ para todo $i$. Entonces, tenemos:

$$\kappa=\left|\bigcup_{i\in I}A_i\right|<\left|\prod_{i\in I}B_i\right|=\kappa^{\operatorname{cf}(\kappa)}$$